חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2x + 1$. נציב $x = 0: f'(0) = 1$.
2. $x = 3$ — $f'(x)=2x$. דרוש $2x=6 ⇒ x=3$.
3. 128 — $y=16-x. S=x^{2}+(16-x)^{2}. S'=2x-2(16-x)=4x-32=0 ⇒ x=8,y=8. S=64+64=128$.
4. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 1$.
5. $12x^{2} - 4$ — $f'(x) = 4x^{3} - 4x$, ולכן $f''(x) = 12x^{2} - 4 ($גוזרים פעמיים).
6. 100 — $x+y=20 ⇒ y=20-x. P=x(20-x)=20x-x^{2}. P'=20-2x=0 ⇒ x=10, y=10$. מכפלה: 100.
7. $(7, -9)$ — $f'(x) = 2x - 14$. נאפס: $2x + -14 = 0 ⇒ x = 7$. נציב: $f(7) = -9$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(7, -9)$.
8. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 9x^{2} - 2$. נציב $x = -1: f'(-1) = 7$.
9. $x = 3$ — $f'(x) = 3x^{2} - 18x, f''(x) = 6x - 18$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 3$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
10. $y = 3x - 2$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2}$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 3(x - 1) ⇒ y = 3x - 2$.
11. יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3 — $f'(x) = 2x + 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -3$. לכן: יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3.
12. −13 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x - 1$. נציב $x = -2: f'(-2) = -13$.
13. $3x^{2} - 6x + 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
14. $-4(1-x)^{3}$ — $4(1-x)^{3}$ כפול נגזרת פנימית $(-1) = -4(1-x)^{3}$.
15. $-\frac{12}{x}^{3}$ — נגזרת של $6x^{-2}$ היא $-12x^{-3} = -\frac{12}{x}^{3}$.
16. $1/\sqrt{x}$ — נגזרת של $2\sqrt{x}: 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1/\sqrt{x}$.
17. −3 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 6x$. נציב $x = -1: f'(-1) = -3$.
18. 2 — $f'(x) = 3x^{2} + 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, -1)$.
19. עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1 — $f'(x) = -2x + 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = 1$. לכן: עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1.
20. $y = 2x$ — שיפוע: $f'(x) = 2x$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(1) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x$.
21. $(2, -1)$ — $f'(x) = 2x - 4$. נאפס: $2x + -4 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -1)$.
22. 2 — $f'=2x-\frac{16}{x}^{2}=0 ⇒ 2x^{3}=16 ⇒ x^{3}=8 ⇒ x=2$.
23. עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3 — $f'(x) = -2x - 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = -3$. לכן: עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3.
24. 10 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 2$. נציב $x = 4: f'(4) = 10$.
25. $-\frac{5}{x}^{2}$ — נגזרת של $5x^{-1}$ היא $-5x^{-2} = -\frac{5}{x}^{2}$.
26. $y = 4x - 3$ — שיפוע: $f'(x) = 6x - 2$, ובנקודה $m = 4$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 4(x - 1) ⇒ y = 4x - 3$.
27. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x + 7$. נציב $x = 0: f'(0) = 7$.
28. 2x + 14 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x + 14$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
29. 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
30. $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $(x)'=1, (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, (1)'=0$. סכום: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
31. $6(2x+1)^{2}$ — כלל השרשרת: נגזרת חיצונית $3(2x+1)^{2}$ כפול נגזרת פנימית $2 = 6(2x+1)^{2}$.
32. $y = 9x - 16$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2} - 3$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 16$.
33. $3x^{2} + 2x$ — כלל המכפלה: $2x \cdot (x+1) + x^{2} \cdot 1 = 2x^{2}+2x+x^{2} = 3x^{2}+2x. ($או פתח: $x^{3}+x^{2}$, נגזרת $3x^{2}+2x)$.
34. $3x^{2} - 2x + 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 2x + 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
35. 10(5x+3) — 2(5x+3) כפול $5 = 10(5x+3)$.