חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $-\frac{3}{x+2}^{2}$ — $[0 - 3 \cdot 1]/(x+2)^{2} = -\frac{3}{x+2}^{2}$.
2. 10 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 2$. נציב $x = 4: f'(4) = 10$.
3. 2x − 6 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 6$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
4. $(1, -3)$ — $f'(x) = 10x - 10$. נאפס: $10x + -10 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
5. 8 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x - 8$. נציב $x = 4: f'(4) = 8$.
6. 4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 4$. נציב $x = 0: f'(0) = 4$.
7. $6(2x+1)^{2}$ — כלל השרשרת: נגזרת חיצונית $3(2x+1)^{2}$ כפול נגזרת פנימית $2 = 6(2x+1)^{2}$.
8. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -3x^{2} + 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 0$.
9. $(\frac{3}{2})\sqrt{x}$ — $x^{\frac{3}{2}}$ נגזרת: $(\frac{3}{2})x^{\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2})\sqrt{x}$.
10. $(-1, -16)$ — $f'(x) = 2x + 2$. נאפס: $2x + 2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -16)$.
11. $12x^{3} - 16x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x^{3} - 16x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
12. $32\sqrt{3}/9$ — $A=2x(4-x^{2})=8x-2x^{3}. A'=8-6x^{2}=0 ⇒ x^{2}=\frac{4}{3}, x=2/\sqrt{3}. A=2 \cdot (2/\sqrt{3}) \cdot (4-\frac{4}{3})=(4/\sqrt{3}) \cdot (\frac{8}{3})=\frac{32}{3\sqrt{3}}=32\sqrt{3}/9$.
13. $x = 2$ — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9, f''(x) = 6x - 12$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 2$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
14. −16 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 8x$. נציב $x = -2: f'(-2) = -16$.
15. 18x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 18x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
16. $-\frac{1}{x^{2}}$ — נגזרת של $\frac{1}{x} = x^{-1}$ היא $-x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$.
17. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
18. $(-1, -3)$ — $f'(x) = 4x + 4$. נאפס: $4x + 4 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -3)$.
19. $y = x - 4$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 5$, ובנקודה $m = 1$. ערך הפונקציה: $f(-2) = -6$. משוואת המשיק: $y - -6 = 1(x - -2) ⇒ y = x - 4$.
20. $(2, -1)$ — $f'(x) = 2x - 4$. נאפס: $2x + -4 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -1)$.
21. $3x^{2} - 9$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 9$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
22. 25 — היקף $20 ⇒ x+y=10, A=x(10-x), A'=10-2x=0 ⇒ x=5 ($ריבוע$). A=25$.
23. 2x − 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
24. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 12x - 12$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
25. 100 — $x+y=20 ⇒ y=20-x. P=x(20-x)=20x-x^{2}. P'=20-2x=0 ⇒ x=10, y=10$. מכפלה: 100.
26. 32 — $xy=64 ⇒ y=\frac{64}{x}. P=2(x+\frac{64}{x}). P'=2(1-\frac{64}{x}^{2})=0 ⇒ x=8,y=8. P=2 \cdot 16=32$.
27. −13 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x - 1$. נציב $x = -2: f'(-2) = -13$.
28. $(2, -5)$ — $f'(x) = 6x - 12$. נאפס: $6x + -12 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -5$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -5)$.
29. יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4 — $f'(x) = 2x - 8$. מאפסים: $x = 4$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 4$. לכן: יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4.
30. 2 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 2$.
31. $x = 2$ — משיק מקביל לציר x ⇒ שיפוע $0. f'(x)=2x-4=0 ⇒ x=2$.
32. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 48$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -4, 4)$.
33. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x + 7$. נציב $x = 0: f'(0) = 7$.
34. 128 — $y=16-x. S=x^{2}+(16-x)^{2}. S'=2x-2(16-x)=4x-32=0 ⇒ x=8,y=8. S=64+64=128$.
35. $2(x^{3}+x)(3x^{2}+1)$ — $2(x^{3}+x)$ כפול נגזרת פנימית $(3x^{2}+1)$.