חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y = x - 4$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 5$, ובנקודה $m = 1$. ערך הפונקציה: $f(-2) = -6$. משוואת המשיק: $y - -6 = 1(x - -2) ⇒ y = x - 4$.
2. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
3. יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1 — $f'(x) = 2x - 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 1$. לכן: יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1.
4. $6x^{2} - 10x + 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} - 10x + 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
5. 2 — $f'(x) = 3x^{2} + 6x - 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 1)$.
6. יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2 — $f'(x) = 2x - 4$. מאפסים: $x = 2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 2$. לכן: יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2.
7. 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
8. $\frac{1}{x+1}^{2}$ — כלל המנה: $[1 \cdot (x+1) - x \cdot 1]/(x+1)^{2} = \frac{1}{x+1}^{2}$.
9. $-\frac{2}{x}^{3}$ — נגזרת של $x^{-2}$ היא $-2x^{-3} = -\frac{2}{x}^{3}$.
10. $(-1, -3)$ — $f'(x) = 4x + 4$. נאפס: $4x + 4 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -3)$.
11. $3x^{2} - 3$ — פתח: $x^{3}-3x$, נגזרת $3x^{2}-3. ($או כלל מכפלה: $1 \cdot (x^{2}-3)+x \cdot 2x)$.
12. עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3 — $f'(x) = -2x - 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = -3$. לכן: עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3.
13. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 6$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
14. −2 — $f'=3x^{2}-3=0 ⇒ x= \pm 1. f''=6x$; ב-$x=1$ חיובי ⇒ מינימום$. f(1)=1-3=-2$.
15. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — נגזרת של $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ היא $(\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
16. 4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 4$. נציב $x = 0: f'(0) = 4$.
17. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 48$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -4, 4)$.
18. $\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ — $\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}$ כפול $3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.
19. $(-6, -16)$ — $f'(x) = 2x + 12$. נאפס: $2x + 12 = 0 ⇒ x = -6$. נציב: $f(-6) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-6, -16)$.
20. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 4x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(1) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 1) ⇒ y = -1$.
21. $(5, -16)$ — $f'(x) = 2x - 10$. נאפס: $2x + -10 = 0 ⇒ x = 5$. נציב: $f(5) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(5, -16)$.
22. 2x + 1 — פתח: $x^{2}+x-2$, נגזרת 2x+1.
23. 8x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
24. יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4 — $f'(x) = 2x - 8$. מאפסים: $x = 4$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 4$. לכן: יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4.
25. 4 — $f'(x)=-2x+6=0 ⇒ x=3. f(3)=-9+18-5=4$. כי a<0 זה מקסימום.
26. $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $(x)'=1, (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, (1)'=0$. סכום: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
27. $y = 9x - 16$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2} - 3$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 16$.
28. $y = 9x - 8$ — שיפוע: $f'(x) = 4x + 1$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 10$. משוואת המשיק: $y - 10 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 8$.
29. $y = 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(2) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 0(x - 2) ⇒ y = 1$.
30. $8x(x^{2}+1)^{3}$ — $3=4(x^{2}+1)^{3}$ כפול נגזרת פנימית $2x = 8x(x^{2}+1)^{3}$.
31. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -4x + 4$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
32. −3 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x + 1$. נציב $x = -1: f'(-1) = -3$.
33. 128 — $y=16-x. S=x^{2}+(16-x)^{2}. S'=2x-2(16-x)=4x-32=0 ⇒ x=8,y=8. S=64+64=128$.
34. 10x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
35. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.