חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 3$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
2. $-\frac{7}{x}^{2}$ — נגזרת של $7x^{-1}$ היא $-7x^{-2} = -\frac{7}{x}^{2}$.
3. $\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$ — גוזרים איבר־איבר: $(\sqrt{x})' + (x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$.
4. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 5$. נציב $x = 5: f'(5) = 5$.
5. $5x^{4} - 6x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 5x^{4} - 6x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
6. 2x + 10 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x + 10$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
7. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 27$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 3)$.
8. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 3$. נציב $x = 2: f'(2) = 1$.
9. $4x^{3} - 12x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
10. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -4x + 4$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
11. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 12x - 12$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
12. $-\frac{5}{x}^{2}$ — נגזרת של $5x^{-1}$ היא $-5x^{-2} = -\frac{5}{x}^{2}$.
13. $y = -x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 1$, ובנקודה $m = -1$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = -1(x - 0) ⇒ y = -x + 1$.
14. 12x + 2 — $f'(x) = 6x^{2} + 2x - 5$, ולכן $f''(x) = 12x + 2 ($גוזרים פעמיים).
15. 4 — $f'(x)=-2x+6=0 ⇒ x=3. f(3)=-9+18-5=4$. כי a<0 זה מקסימום.
16. 2(x − 3) — כלל השרשרת: 2(x−3) כפול נגזרת פנימית $1 = 2(x-3). ($או פתח $x^{2}-6x+9$, נגזרת $2x-6=2(x-3))$.
17. 2 — $f'=2x-\frac{16}{x}^{2}=0 ⇒ 2x^{3}=16 ⇒ x^{3}=8 ⇒ x=2$.
18. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
19. 10 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 2$. נציב $x = 4: f'(4) = 10$.
20. $-\frac{1}{2}$ — $f=x+x^{2}, f'=1+2x=0 ⇒ x=-\frac{1}{2}$.
21. 12 — $y=\frac{36}{x}, S=x+\frac{36}{x}. S'=1-\frac{36}{x}^{2}=0 ⇒ x^{2}=36 ⇒ x=6, y=6. S=12$.
22. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2x + 1$. נציב $x = 0: f'(0) = 1$.
23. 18x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 18x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
24. יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3 — $f'(x) = 2x + 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -3$. לכן: יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3.
25. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
26. יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1 — $f'(x) = 2x - 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 1$. לכן: יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1.
27. $\frac{1}{x+1}^{2}$ — כלל המנה: $[1 \cdot (x+1) - x \cdot 1]/(x+1)^{2} = \frac{1}{x+1}^{2}$.
28. $(1, -3)$ — $f'(x) = 10x - 10$. נאפס: $10x + -10 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
29. 10x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
30. עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1 — $f'(x) = -2x + 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = 1$. לכן: עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1.
31. $8x^{3} - 9x^{2} + 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x^{3} - 9x^{2} + 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
32. $-6x^{2} + 12x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -6x^{2} + 12x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
33. $x = -1$ — $f'(x) = 3x^{2} + 6x, f''(x) = 6x + 6$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = -1$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
34. $-\frac{6}{x}^{4}$ — נגזרת של $2x^{-3}$ היא $-6x^{-4} = -\frac{6}{x}^{4}$.
35. 2 — $f'(x) = 3x^{2} + 6x - 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 1)$.