חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$ — $x^{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}}$, נגזרת $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$.
2. יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4 — $f'(x) = 2x - 8$. מאפסים: $x = 4$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 4$. לכן: יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4.
3. $3x^{2} - 6x + 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
4. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -3x^{2} + 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 0$.
5. $8x^{3} - 9x^{2} + 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x^{3} - 9x^{2} + 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
6. $1/\sqrt{x}$ — נגזרת של $2\sqrt{x}: 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1/\sqrt{x}$.
7. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2x + 1$. נציב $x = 0: f'(0) = 1$.
8. $2(x^{3}+x)(3x^{2}+1)$ — $2(x^{3}+x)$ כפול נגזרת פנימית $(3x^{2}+1)$.
9. $(-6, -16)$ — $f'(x) = 2x + 12$. נאפס: $2x + 12 = 0 ⇒ x = -6$. נציב: $f(-6) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-6, -16)$.
10. יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3 — $f'(x) = 2x + 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -3$. לכן: יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3.
11. 2x − 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
12. 2x + 1 — פתח: $x^{2}+x-2$, נגזרת 2x+1.
13. 25 — היקף $20 ⇒ x+y=10, A=x(10-x), A'=10-2x=0 ⇒ x=5 ($ריבוע$). A=25$.
14. 100 — $x+y=20 ⇒ y=20-x. P=x(20-x)=20x-x^{2}. P'=20-2x=0 ⇒ x=10, y=10$. מכפלה: 100.
15. $(3, -1)$ — $f'(x) = 2x - 6$. נאפס: $2x + -6 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, -1)$.
16. $6(2x+1)^{2}$ — כלל השרשרת: נגזרת חיצונית $3(2x+1)^{2}$ כפול נגזרת פנימית $2 = 6(2x+1)^{2}$.
17. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 8$. נציב $x = -4: f'(-4) = 0$.
18. $y = 3x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 3$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 3(x - 0) ⇒ y = 3x + 1$.
19. $8(2x-1)^{3}$ — $4(2x-1)^{3}$ כפול $2 = 8(2x-1)^{3}$.
20. 9 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 3$. נציב $x = 2: f'(2) = 9$.
21. $x = 3$ — $f'(x) = 3x^{2} - 18x, f''(x) = 6x - 18$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 3$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
22. $3x^{2} - 2x + 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 2x + 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
23. 10(5x+3) — 2(5x+3) כפול $5 = 10(5x+3)$.
24. $(-1, -16)$ — $f'(x) = 2x + 2$. נאפס: $2x + 2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -16)$.
25. $x/\sqrt{x^{2}+1}$ — נגזרת חיצונית $\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}$ כפול $2x = x/\sqrt{x^{2}+1}$.
26. $-9x^{2} + 2x - 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -9x^{2} + 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
27. −13 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x - 1$. נציב $x = -2: f'(-2) = -13$.
28. $y = -4$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 2$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(-1) = -4$. משוואת המשיק: $y - -4 = 0(x - -1) ⇒ y = -4$.
29. $\frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$ — $[2x(x-1) - x^{2} \cdot 1]/(x-1)^{2} = \frac{2x^{2}-2x-x^{2}}{x-1}^{2} = \frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$.
30. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 3$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
31. $-6x^{2} + 12x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -6x^{2} + 12x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
32. $3x^{2} + 12x + 12$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 12x + 12$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
33. $-\frac{6}{x}^{4}$ — נגזרת של $2x^{-3}$ היא $-6x^{-4} = -\frac{6}{x}^{4}$.
34. $(2, -7)$ — $f'(x) = 4x - 8$. נאפס: $4x + -8 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -7$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -7)$.
35. $-\frac{5}{x}^{2}$ — נגזרת של $5x^{-1}$ היא $-5x^{-2} = -\frac{5}{x}^{2}$.