חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(2, 11)$ — $f'(x) = -4x + 8$. נאפס: $-4x + 8 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = 11$. מכיוון ש-a < 0 זוהי נקודת מקסימום: $(2, 11)$.
2. −2 — $f'=3x^{2}-3=0 ⇒ x= \pm 1. f''=6x$; ב-$x=1$ חיובי ⇒ מינימום$. f(1)=1-3=-2$.
3. $y = 4x - 3$ — שיפוע: $f'(x) = 6x - 2$, ובנקודה $m = 4$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 4(x - 1) ⇒ y = 4x - 3$.
4. $6(2x+1)^{2}$ — כלל השרשרת: נגזרת חיצונית $3(2x+1)^{2}$ כפול נגזרת פנימית $2 = 6(2x+1)^{2}$.
5. 7 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 7$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
6. יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3 — $f'(x) = 2x + 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -3$. לכן: יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3.
7. $21x^{2} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 21x^{2} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
8. 128 — $y=16-x. S=x^{2}+(16-x)^{2}. S'=2x-2(16-x)=4x-32=0 ⇒ x=8,y=8. S=64+64=128$.
9. 6 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x - 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 6$.
10. $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $(x)'=1, (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, (1)'=0$. סכום: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
11. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 6$. נציב $x = -3: f'(-3) = 0$.
12. $-\frac{1}{2}$ — $f=x+x^{2}, f'=1+2x=0 ⇒ x=-\frac{1}{2}$.
13. 8 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x - 8$. נציב $x = 4: f'(4) = 8$.
14. יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2 — $f'(x) = 2x - 4$. מאפסים: $x = 2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 2$. לכן: יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2.
15. $-\frac{2}{x-1}^{2}$ — $[(1)(x-1)-(x+1)(1)]/(x-1)^{2} = \frac{x-1-x-1}{x-1}^{2} = -\frac{2}{x-1}^{2}$.
16. $\frac{1}{x+1}^{2}$ — כלל המנה: $[1 \cdot (x+1) - x \cdot 1]/(x+1)^{2} = \frac{1}{x+1}^{2}$.
17. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 6x$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 0, 2)$.
18. $8x^{3} - 3x^{2}$ — פתח: $2x^{4}-x^{3}$, נגזרת $8x^{3}-3x^{2}$.
19. 16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2. f''(x)=6x$; ב-$x=-2$ שלילי ⇒ מקסימום$. f(-2)=-8+24=16$.
20. $9x^{2} - 9$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 9x^{2} - 9$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
21. $x = 2$ — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9, f''(x) = 6x - 12$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 2$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
22. 10x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
23. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 1$. נציב $x = 3: f'(3) = 5$.
24. $y = 2x - 1$ — שיפוע: $f'(x) = 6x + 2$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(0) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 2(x - 0) ⇒ y = 2x - 1$.
25. $-\frac{12}{x}^{3}$ — נגזרת של $6x^{-2}$ היא $-12x^{-3} = -\frac{12}{x}^{3}$.
26. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -4x + 4$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
27. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 12x - 12$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
28. $y = -x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 1$, ובנקודה $m = -1$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = -1(x - 0) ⇒ y = -x + 1$.
29. $\frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$ — $[2x(x-1) - x^{2} \cdot 1]/(x-1)^{2} = \frac{2x^{2}-2x-x^{2}}{x-1}^{2} = \frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$.
30. 6x + 4 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x + 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
31. $4x^{3} - 12x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
32. 2x − 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
33. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
34. $(3, 0)$ — $f'(x) = 4x - 12$. נאפס: $4x + -12 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = 0$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, 0)$.
35. $8x(x^{2}+1)^{3}$ — $3=4(x^{2}+1)^{3}$ כפול נגזרת פנימית $2x = 8x(x^{2}+1)^{3}$.