חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $4x^{3} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
2. עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3 — $f'(x) = -2x - 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = -3$. לכן: עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3.
3. 15 — $P=x(30-x)=30x-x^{2}, P'=30-2x=0 ⇒ x=15$.
4. 12 — $y=\frac{36}{x}, S=x+\frac{36}{x}. S'=1-\frac{36}{x}^{2}=0 ⇒ x^{2}=36 ⇒ x=6, y=6. S=12$.
5. $3x^{2} + 12x + 12$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 12x + 12$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
6. $3x^{2} + 4x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 4x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
7. 1 < x < 4 — המכפלה (x−1)(x−4) שלילית בין השורשים, כלומר 1<x<4, ושם f יורדת.
8. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 6$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
9. $-4(1-x)^{3}$ — $4(1-x)^{3}$ כפול נגזרת פנימית $(-1) = -4(1-x)^{3}$.
10. $y = 4x - 3$ — שיפוע: $f'(x) = 6x - 2$, ובנקודה $m = 4$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 4(x - 1) ⇒ y = 4x - 3$.
11. $x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2} + 2, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
12. $6x^{2} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
13. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 1, 3)$.
14. 8x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
15. $3x^{2} - 2x + 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 2x + 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
16. −16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2$. ב-$x=2: f''>0 ⇒$ מינימום$. f(2)=8-24=-16$.
17. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 12x - 12$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
18. יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2 — $f'(x) = 6x + 12$. מאפסים: $x = -2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -2$. לכן: יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2.
19. −4x + 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -4x + 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
20. $y = 3x - 2$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2}$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 3(x - 1) ⇒ y = 3x - 2$.
21. $y = 9x - 16$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2} - 3$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 16$.
22. 32 — $xy=64 ⇒ y=\frac{64}{x}. P=2(x+\frac{64}{x}). P'=2(1-\frac{64}{x}^{2})=0 ⇒ x=8,y=8. P=2 \cdot 16=32$.
23. $(-1, -16)$ — $f'(x) = 2x + 2$. נאפס: $2x + 2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -16)$.
24. −16 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 8x$. נציב $x = -2: f'(-2) = -16$.
25. 10(5x+3) — 2(5x+3) כפול $5 = 10(5x+3)$.
26. 10x − 3 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
27. $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ — $(x^{3})' = 3x^{2}, (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
28. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 1$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -sqrt\frac{3}{3}, sqrt\frac{3}{3})$.
29. עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1 — $f'(x) = -2x + 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = 1$. לכן: עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1.
30. $15x^{2} + 4x - 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 15x^{2} + 4x - 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
31. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -4x + 4$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
32. 18x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 18x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
33. $-\frac{1}{2}$ — $f=x+x^{2}, f'=1+2x=0 ⇒ x=-\frac{1}{2}$.
34. 2 — $f''(x) = 12x^{2} - 24x$. מספר הנקודות שבהן f'' מתאפסת ומחליפה סימן הוא 2.
35. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 6$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(3) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 3) ⇒ y = -1$.