חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y = 9x - 16$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2} - 3$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 16$.
2. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 48$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -4, 4)$.
3. 1 < x < 4 — המכפלה (x−1)(x−4) שלילית בין השורשים, כלומר 1<x<4, ושם f יורדת.
4. 1250 — $2x+y=100 ⇒ y=100-2x. A=x(100-2x)=100x-2x^{2}. A'=100-4x=0 ⇒ x=25, y=50. A=25 \cdot 50=1250$.
5. 2x − 1 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
6. $(\frac{3}{2})\sqrt{x}$ — $x^{\frac{3}{2}}$ נגזרת: $(\frac{3}{2})x^{\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2})\sqrt{x}$.
7. 5 — נגזרת של ax היא a. כאן $f'(x)=5$.
8. עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3 — $f'(x) = -2x - 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = -3$. לכן: עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3.
9. $x = 3$ — $f'(x) = 3x^{2} - 18x, f''(x) = 6x - 18$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 3$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
10. $x = -1$ — $f'(x) = 3x^{2} + 6x, f''(x) = 6x + 6$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = -1$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
11. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2x + 1$. נציב $x = 0: f'(0) = 1$.
12. $(2, 5)$ — $f'(x) = -2x + 4$. נאפס: $-2x + 4 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = 5$. מכיוון ש-a < 0 זוהי נקודת מקסימום: $(2, 5)$.
13. $-2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$ — $[0 \cdot (x^{2}+1) - 1 \cdot 2x]/(x^{2}+1)^{2} = -2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$.
14. 12 — $y=\frac{36}{x}, S=x+\frac{36}{x}. S'=1-\frac{36}{x}^{2}=0 ⇒ x^{2}=36 ⇒ x=6, y=6. S=12$.
15. $-\frac{1}{x^{2}}$ — נגזרת של $\frac{1}{x} = x^{-1}$ היא $-x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$.
16. 10(5x+3) — 2(5x+3) כפול $5 = 10(5x+3)$.
17. $y = 4x - 3$ — שיפוע: $f'(x) = 6x - 2$, ובנקודה $m = 4$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 4(x - 1) ⇒ y = 4x - 3$.
18. $(-4, -4)$ — $f'(x) = 2x + 8$. נאפס: $2x + 8 = 0 ⇒ x = -4$. נציב: $f(-4) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-4, -4)$.
19. יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2 — $f'(x) = 2x - 4$. מאפסים: $x = 2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 2$. לכן: יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2.
20. 2x − 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
21. 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
22. 2 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 2$.
23. $y = 4x - 3$ — שיפוע: $f'(x) = 4x$, ובנקודה $m = 4$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 4(x - 1) ⇒ y = 4x - 3$.
24. $8x(x^{2}+1)^{3}$ — $3=4(x^{2}+1)^{3}$ כפול נגזרת פנימית $2x = 8x(x^{2}+1)^{3}$.
25. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 9x^{2} - 2$. נציב $x = -1: f'(-1) = 7$.
26. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 6$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(3) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 3) ⇒ y = -1$.
27. 12x + 2 — $f'(x) = 6x^{2} + 2x - 5$, ולכן $f''(x) = 12x + 2 ($גוזרים פעמיים).
28. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 3$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
29. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 5$. נציב $x = 5: f'(5) = 5$.
30. $1/\sqrt{x}$ — נגזרת של $2\sqrt{x}: 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1/\sqrt{x}$.
31. $y = 2x$ — שיפוע: $f'(x) = 2x$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(1) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x$.
32. 8x + 12 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x + 12$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
33. $4x^{3} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
34. 4x − 7 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x - 7$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
35. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.