חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
2. $-2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$ — $[0 \cdot (x^{2}+1) - 1 \cdot 2x]/(x^{2}+1)^{2} = -2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$.
3. 1 < x < 4 — המכפלה (x−1)(x−4) שלילית בין השורשים, כלומר 1<x<4, ושם f יורדת.
4. $x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2} + 2, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
5. יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1 — $f'(x) = 2x - 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 1$. לכן: יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1.
6. $6(2x+1)^{2}$ — כלל השרשרת: נגזרת חיצונית $3(2x+1)^{2}$ כפול נגזרת פנימית $2 = 6(2x+1)^{2}$.
7. $y = 4x - 3$ — שיפוע: $f'(x) = 6x - 2$, ובנקודה $m = 4$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 4(x - 1) ⇒ y = 4x - 3$.
8. $8x^{3} - 9x^{2} + 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x^{3} - 9x^{2} + 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
9. $6x^{2} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
10. $y = 2x - 1$ — שיפוע: $f'(x) = 6x + 2$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(0) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 2(x - 0) ⇒ y = 2x - 1$.
11. 2 — $f'=2x-\frac{16}{x}^{2}=0 ⇒ 2x^{3}=16 ⇒ x^{3}=8 ⇒ x=2$.
12. $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $(x)'=1, (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, (1)'=0$. סכום: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
13. $(-1, 6)$ — $f'(x) = -2x - 2$. נאפס: $-2x + -2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = 6$. מכיוון ש-a < 0 זוהי נקודת מקסימום: $(-1, 6)$.
14. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 3$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
15. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2x + 1$. נציב $x = 0: f'(0) = 1$.
16. $12x^{2} - 4$ — $f'(x) = 4x^{3} - 4x$, ולכן $f''(x) = 12x^{2} - 4 ($גוזרים פעמיים).
17. 2 — $f''(x) = 12x^{2} - 24x$. מספר הנקודות שבהן f'' מתאפסת ומחליפה סימן הוא 2.
18. $-\frac{3}{x}^{2}$ — נגזרת של $3x^{-1}$ היא $-3x^{-2} = -\frac{3}{x}^{2}$.
19. $6x^{2} - 10x + 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} - 10x + 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
20. $4x^{3} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
21. $y = 2x$ — שיפוע: $f'(x) = 2x$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(1) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x$.
22. 25 — היקף $20 ⇒ x+y=10, A=x(10-x), A'=10-2x=0 ⇒ x=5 ($ריבוע$). A=25$.
23. $-\frac{3}{x+2}^{2}$ — $[0 - 3 \cdot 1]/(x+2)^{2} = -\frac{3}{x+2}^{2}$.
24. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 8$. נציב $x = -4: f'(-4) = 0$.
25. 2 — $f'(x) = 12 - 3x^{2}$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
26. $(\frac{3}{2})\sqrt{x}$ — $x^{\frac{3}{2}}$ נגזרת: $(\frac{3}{2})x^{\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2})\sqrt{x}$.
27. 32 — $xy=64 ⇒ y=\frac{64}{x}. P=2(x+\frac{64}{x}). P'=2(1-\frac{64}{x}^{2})=0 ⇒ x=8,y=8. P=2 \cdot 16=32$.
28. 4 — $f'(x)=-2x+6=0 ⇒ x=3. f(3)=-9+18-5=4$. כי a<0 זה מקסימום.
29. 10 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 2$. נציב $x = 4: f'(4) = 10$.
30. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 48$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -4, 4)$.
31. 12 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 10x + 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 12$.
32. עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1 — $f'(x) = -2x + 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = 1$. לכן: עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1.
33. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
34. $-\frac{7}{x}^{2}$ — נגזרת של $7x^{-1}$ היא $-7x^{-2} = -\frac{7}{x}^{2}$.
35. 100 — $2(x+y)=40 ⇒ y=20-x. A=x(20-x). A'=20-2x=0 ⇒ x=10 ($ריבוע $10 \times 10)$. שטח$=100$.