חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 1, 3)$.
2. $y = 8x - 7$ — שיפוע: $f'(x) = 8x$, ובנקודה $m = 8$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 8(x - 1) ⇒ y = 8x - 7$.
3. $3x^{2} + 4x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 4x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
4. $4x^{3} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
5. $-\frac{1}{2}$ — $f=x+x^{2}, f'=1+2x=0 ⇒ x=-\frac{1}{2}$.
6. 2x − 6 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 6$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
7. $(-4, -4)$ — $f'(x) = 2x + 8$. נאפס: $2x + 8 = 0 ⇒ x = -4$. נציב: $f(-4) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-4, -4)$.
8. 12 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x^{2} - 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 12$.
9. $\frac{6}{x+3}^{2}$ — $[2(x+3) - 2x \cdot 1]/(x+3)^{2} = \frac{6}{x+3}^{2}$.
10. $y = -16$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 8$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(4) = -16$. משוואת המשיק: $y - -16 = 0(x - 4) ⇒ y = -16$.
11. $y = 2x$ — שיפוע: $f'(x) = 2x$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(1) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x$.
12. $-\frac{6}{x}^{4}$ — נגזרת של $2x^{-3}$ היא $-6x^{-4} = -\frac{6}{x}^{4}$.
13. קעור כלפי מעלה — $f''(x)=6x$. עבור x>0 מתקיים $f''(x)>0$, ולכן הגרף קעור כלפי מעלה.
14. $y = 4x - 4$ — שיפוע: $f'(x) = 2x$, ובנקודה $m = 4$. ערך הפונקציה: $f(2) = 4$. משוואת המשיק: $y - 4 = 4(x - 2) ⇒ y = 4x - 4$.
15. 8x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
16. 6x + 4 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x + 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
17. $(-3, -4)$ — $f'(x) = 2x + 6$. נאפס: $2x + 6 = 0 ⇒ x = -3$. נציב: $f(-3) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-3, -4)$.
18. $\frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$ — $[2x(x-1) - x^{2} \cdot 1]/(x-1)^{2} = \frac{2x^{2}-2x-x^{2}}{x-1}^{2} = \frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$.
19. $2(x^{3}+x)(3x^{2}+1)$ — $2(x^{3}+x)$ כפול נגזרת פנימית $(3x^{2}+1)$.
20. 2 — $f'=2x-\frac{16}{x}^{2}=0 ⇒ 2x^{3}=16 ⇒ x^{3}=8 ⇒ x=2$.
21. $32\sqrt{3}/9$ — $A=2x(4-x^{2})=8x-2x^{3}. A'=8-6x^{2}=0 ⇒ x^{2}=\frac{4}{3}, x=2/\sqrt{3}. A=2 \cdot (2/\sqrt{3}) \cdot (4-\frac{4}{3})=(4/\sqrt{3}) \cdot (\frac{8}{3})=\frac{32}{3\sqrt{3}}=32\sqrt{3}/9$.
22. 2 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 2$.
23. $-9x^{2} + 2x - 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -9x^{2} + 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
24. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -3x^{2} + 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 0$.
25. $3x^{2} + 2x$ — כלל המכפלה: $2x \cdot (x+1) + x^{2} \cdot 1 = 2x^{2}+2x+x^{2} = 3x^{2}+2x. ($או פתח: $x^{3}+x^{2}$, נגזרת $3x^{2}+2x)$.
26. $y = 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(2) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 0(x - 2) ⇒ y = 1$.
27. $(3, -1)$ — $f'(x) = 2x - 6$. נאפס: $2x + -6 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, -1)$.
28. 8 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x - 8$. נציב $x = 4: f'(4) = 8$.
29. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 6$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
30. $y = -x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 1$, ובנקודה $m = -1$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = -1(x - 0) ⇒ y = -x + 1$.
31. $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$ — $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, (-\frac{1}{x})' = +\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$.
32. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
33. $(1, -4)$ — $f'(x) = 2x - 2$. נאפס: $2x + -2 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -4)$.
34. 1 < x < 4 — המכפלה (x−1)(x−4) שלילית בין השורשים, כלומר 1<x<4, ושם f יורדת.
35. −10x + 10 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -10x + 10$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.