חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4 — $f'(x)=-2x+6=0 ⇒ x=3. f(3)=-9+18-5=4$. כי a<0 זה מקסימום.
2. $3x^{2} - 6x + 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
3. $x/\sqrt{x^{2}+1}$ — נגזרת חיצונית $\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}$ כפול $2x = x/\sqrt{x^{2}+1}$.
4. 12 — $y=\frac{36}{x}, S=x+\frac{36}{x}. S'=1-\frac{36}{x}^{2}=0 ⇒ x^{2}=36 ⇒ x=6, y=6. S=12$.
5. $(1, -3)$ — $f'(x) = 10x - 10$. נאפס: $10x + -10 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
6. 16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2. f''(x)=6x$; ב-$x=-2$ שלילי ⇒ מקסימום$. f(-2)=-8+24=16$.
7. 32 — $xy=64 ⇒ y=\frac{64}{x}. P=2(x+\frac{64}{x}). P'=2(1-\frac{64}{x}^{2})=0 ⇒ x=8,y=8. P=2 \cdot 16=32$.
8. $x = 2$ — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9, f''(x) = 6x - 12$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 2$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
9. $6x^{2} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
10. $(1, -3)$ — $f'(x) = 8x - 8$. נאפס: $8x + -8 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
11. יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6 — $f'(x) = 2x - 12$. מאפסים: $x = 6$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 6$. לכן: יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6.
12. 10x − 3 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
13. 2x + 10 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x + 10$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
14. 4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 4$. נציב $x = 0: f'(0) = 4$.
15. 12x + 2 — $f'(x) = 6x^{2} + 2x - 5$, ולכן $f''(x) = 12x + 2 ($גוזרים פעמיים).
16. 12x − 1 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
17. $y = 2x - 1$ — שיפוע: $f'(x) = 6x + 2$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(0) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 2(x - 0) ⇒ y = 2x - 1$.
18. −4x + 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -4x + 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
19. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 6x$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 0, 2)$.
20. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
21. $3x^{2} - 3$ — פתח: $x^{3}-3x$, נגזרת $3x^{2}-3. ($או כלל מכפלה: $1 \cdot (x^{2}-3)+x \cdot 2x)$.
22. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
23. יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4 — $f'(x) = 2x - 8$. מאפסים: $x = 4$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 4$. לכן: יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4.
24. $-4(1-x)^{3}$ — $4(1-x)^{3}$ כפול נגזרת פנימית $(-1) = -4(1-x)^{3}$.
25. 10(5x+3) — 2(5x+3) כפול $5 = 10(5x+3)$.
26. יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2 — $f'(x) = 2x - 4$. מאפסים: $x = 2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 2$. לכן: יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2.
27. 100 — $2(x+y)=40 ⇒ y=20-x. A=x(20-x). A'=20-2x=0 ⇒ x=10 ($ריבוע $10 \times 10)$. שטח$=100$.
28. $(3, -1)$ — $f'(x) = 2x - 6$. נאפס: $2x + -6 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, -1)$.
29. $-\frac{2}{x}^{3}$ — נגזרת של $x^{-2}$ היא $-2x^{-3} = -\frac{2}{x}^{3}$.
30. −13 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x - 1$. נציב $x = -2: f'(-2) = -13$.
31. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 1$.
32. 2 — $f'(x) = 12 - 3x^{2}$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
33. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 10x - 10$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
34. 8x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
35. $-\frac{1}{2}$ — $f=x+x^{2}, f'=1+2x=0 ⇒ x=-\frac{1}{2}$.