חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y = x - 4$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 5$, ובנקודה $m = 1$. ערך הפונקציה: $f(-2) = -6$. משוואת המשיק: $y - -6 = 1(x - -2) ⇒ y = x - 4$.
2. $(-1, -16)$ — $f'(x) = 2x + 2$. נאפס: $2x + 2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -16)$.
3. $-\frac{12}{x}^{3}$ — נגזרת של $6x^{-2}$ היא $-12x^{-3} = -\frac{12}{x}^{3}$.
4. יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1 — $f'(x) = 2x - 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 1$. לכן: יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1.
5. $x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2} + 2, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
6. 12 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 10x + 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 12$.
7. $(-1, 6)$ — $f'(x) = -2x - 2$. נאפס: $-2x + -2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = 6$. מכיוון ש-a < 0 זוהי נקודת מקסימום: $(-1, 6)$.
8. $(3, 0)$ — $f'(x) = 4x - 12$. נאפס: $4x + -12 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = 0$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, 0)$.
9. יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2 — $f'(x) = 6x + 12$. מאפסים: $x = -2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -2$. לכן: יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2.
10. $y = 8x - 7$ — שיפוע: $f'(x) = 8x$, ובנקודה $m = 8$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 8(x - 1) ⇒ y = 8x - 7$.
11. $x = -1$ — $f'(x) = 3x^{2} + 6x, f''(x) = 6x + 6$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = -1$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
12. −2x + 6 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -2x + 6$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
13. $y = -4$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 2$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(-1) = -4$. משוואת המשיק: $y - -4 = 0(x - -1) ⇒ y = -4$.
14. $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$ — $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, (-\frac{1}{x})' = +\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$.
15. $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $(x)'=1, (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, (1)'=0$. סכום: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
16. $(\frac{3}{2})\sqrt{x}$ — $x^{\frac{3}{2}}$ נגזרת: $(\frac{3}{2})x^{\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2})\sqrt{x}$.
17. −10x + 10 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -10x + 10$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
18. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 6x$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 0, 2)$.
19. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 4x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(1) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 1) ⇒ y = -1$.
20. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 1$. נציב $x = 3: f'(3) = 5$.
21. 1250 — $2x+y=100 ⇒ y=100-2x. A=x(100-2x)=100x-2x^{2}. A'=100-4x=0 ⇒ x=25, y=50. A=25 \cdot 50=1250$.
22. $15(3x-2)^{4}$ — $5(3x-2)^{4}$ כפול $3 = 15(3x-2)^{4}$.
23. 8 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x - 8$. נציב $x = 4: f'(4) = 8$.
24. $21x^{2} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 21x^{2} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
25. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
26. $(3, -1)$ — $f'(x) = 2x - 6$. נאפס: $2x + -6 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, -1)$.
27. $(1, -3)$ — $f'(x) = 10x - 10$. נאפס: $10x + -10 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
28. 2x − 1 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
29. $32\sqrt{3}/9$ — $A=2x(4-x^{2})=8x-2x^{3}. A'=8-6x^{2}=0 ⇒ x^{2}=\frac{4}{3}, x=2/\sqrt{3}. A=2 \cdot (2/\sqrt{3}) \cdot (4-\frac{4}{3})=(4/\sqrt{3}) \cdot (\frac{8}{3})=\frac{32}{3\sqrt{3}}=32\sqrt{3}/9$.
30. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
31. יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4 — $f'(x) = 2x - 8$. מאפסים: $x = 4$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 4$. לכן: יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4.
32. $6x^{2} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
33. 10 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 2$. נציב $x = 4: f'(4) = 10$.
34. 100 — $2(x+y)=40 ⇒ y=20-x. A=x(20-x). A'=20-2x=0 ⇒ x=10 ($ריבוע $10 \times 10)$. שטח$=100$.
35. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -4x + 4$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.