חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 2x − 6 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 6$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
2. יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2 — $f'(x) = 2x - 4$. מאפסים: $x = 2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 2$. לכן: יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2.
3. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 48$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -4, 4)$.
4. 4 — $f'(x)=-2x+6=0 ⇒ x=3. f(3)=-9+18-5=4$. כי a<0 זה מקסימום.
5. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 10x - 10$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
6. $2(x^{3}+x)(3x^{2}+1)$ — $2(x^{3}+x)$ כפול נגזרת פנימית $(3x^{2}+1)$.
7. $(3, 0)$ — $f'(x) = 4x - 12$. נאפס: $4x + -12 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = 0$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, 0)$.
8. 10x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
9. $y = x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 7$, ובנקודה $m = 1$. ערך הפונקציה: $f(-3) = -2$. משוואת המשיק: $y - -2 = 1(x - -3) ⇒ y = x + 1$.
10. $\frac{6}{x+3}^{2}$ — $[2(x+3) - 2x \cdot 1]/(x+3)^{2} = \frac{6}{x+3}^{2}$.
11. 25 — היקף $20 ⇒ x+y=10, A=x(10-x), A'=10-2x=0 ⇒ x=5 ($ריבוע$). A=25$.
12. $6x^{2} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
13. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 1$. נציב $x = 3: f'(3) = 5$.
14. $y = 9x - 16$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2} - 3$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 16$.
15. $(-1, -16)$ — $f'(x) = 2x + 2$. נאפס: $2x + 2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -16)$.
16. $(2, -7)$ — $f'(x) = 4x - 8$. נאפס: $4x + -8 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -7$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -7)$.
17. 2x + 1 — פתח: $x^{2}+x-2$, נגזרת 2x+1.
18. $x = 2$ — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9, f''(x) = 6x - 12$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 2$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
19. יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2 — $f'(x) = 6x + 12$. מאפסים: $x = -2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -2$. לכן: יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2.
20. $(3, -1)$ — $f'(x) = 2x - 6$. נאפס: $2x + -6 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, -1)$.
21. 2x − 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
22. $21x^{2} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 21x^{2} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
23. $y = 9x - 8$ — שיפוע: $f'(x) = 4x + 1$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 10$. משוואת המשיק: $y - 10 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 8$.
24. 2 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 2$.
25. יורדת ב-x < −5, עולה ב-x > −5 — $f'(x) = 2x + 10$. מאפסים: $x = -5$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -5$. לכן: יורדת ב-x < −5, עולה ב-x > −5.
26. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2x + 1$. נציב $x = 0: f'(0) = 1$.
27. 2x + 14 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x + 14$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
28. $(-1, -3)$ — $f'(x) = 4x + 4$. נאפס: $4x + 4 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -3)$.
29. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -4x + 4$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
30. $3x^{2} - 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
31. 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
32. 7 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 7$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
33. $y = 8x - 7$ — שיפוע: $f'(x) = 8x$, ובנקודה $m = 8$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 8(x - 1) ⇒ y = 8x - 7$.
34. 12x + 2 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x + 2$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
35. $-6x^{2} + 12x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -6x^{2} + 12x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.