חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 7 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 7$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
2. יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6 — $f'(x) = 2x - 12$. מאפסים: $x = 6$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 6$. לכן: יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6.
3. −4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 10$. נציב $x = 3: f'(3) = -4$.
4. 12x − 1 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
5. $\frac{1}{x+1}^{2}$ — כלל המנה: $[1 \cdot (x+1) - x \cdot 1]/(x+1)^{2} = \frac{1}{x+1}^{2}$.
6. $(\frac{3}{2})\sqrt{x}$ — $x^{\frac{3}{2}}$ נגזרת: $(\frac{3}{2})x^{\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2})\sqrt{x}$.
7. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 6$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(3) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 3) ⇒ y = -1$.
8. יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3 — $f'(x) = 2x + 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -3$. לכן: יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3.
9. 4x − 7 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x - 7$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
10. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 1, 3)$.
11. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 3$. נציב $x = 2: f'(2) = 1$.
12. 2x + 14 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x + 14$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
13. $(1, -3)$ — $f'(x) = 8x - 8$. נאפס: $8x + -8 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
14. $12x^{2} - 12x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x^{2} - 12x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
15. 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
16. 18x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 18x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
17. $y = 2x - 1$ — שיפוע: $f'(x) = 6x + 2$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(0) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 2(x - 0) ⇒ y = 2x - 1$.
18. $2/\sqrt{x}$ — נגזרת של $4\sqrt{x}: 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2/\sqrt{x}$.
19. 25 — היקף $20 ⇒ x+y=10, A=x(10-x), A'=10-2x=0 ⇒ x=5 ($ריבוע$). A=25$.
20. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 8$. נציב $x = -4: f'(-4) = 0$.
21. 4 — $f'(x)=-2x+6=0 ⇒ x=3. f(3)=-9+18-5=4$. כי a<0 זה מקסימום.
22. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
23. $4x^{3} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
24. $12x^{3} - 16x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x^{3} - 16x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
25. $(-4, -4)$ — $f'(x) = 2x + 8$. נאפס: $2x + 8 = 0 ⇒ x = -4$. נציב: $f(-4) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-4, -4)$.
26. −25 — $x-y=10 ⇒ x=y+10. P=(y+10)y=y^{2}+10y. P'=2y+10=0 ⇒ y=-5, x=5. P=5 \cdot (-5)=-25$.
27. יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4 — $f'(x) = 2x - 8$. מאפסים: $x = 4$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 4$. לכן: יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4.
28. $-\frac{7}{x}^{2}$ — נגזרת של $7x^{-1}$ היא $-7x^{-2} = -\frac{7}{x}^{2}$.
29. $(3, -1)$ — $f'(x) = 2x - 6$. נאפס: $2x + -6 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, -1)$.
30. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 5$. נציב $x = 5: f'(5) = 5$.
31. 8x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
32. $(2, 11)$ — $f'(x) = -4x + 8$. נאפס: $-4x + 8 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = 11$. מכיוון ש-a < 0 זוהי נקודת מקסימום: $(2, 11)$.
33. 2 — $f'(x) = 2x + 4$, ולכן $f''(x) = 2 ($גוזרים פעמיים).
34. 100 — $x+y=20 ⇒ y=20-x. P=x(20-x)=20x-x^{2}. P'=20-2x=0 ⇒ x=10, y=10$. מכפלה: 100.
35. 12 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x^{2} - 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 12$.