חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(-6, -16)$ — $f'(x) = 2x + 12$. נאפס: $2x + 12 = 0 ⇒ x = -6$. נציב: $f(-6) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-6, -16)$.
2. −16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2$. ב-$x=2: f''>0 ⇒$ מינימום$. f(2)=8-24=-16$.
3. −3 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x + 1$. נציב $x = -1: f'(-1) = -3$.
4. $(7, -9)$ — $f'(x) = 2x - 14$. נאפס: $2x + -14 = 0 ⇒ x = 7$. נציב: $f(7) = -9$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(7, -9)$.
5. 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
6. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 6$. נציב $x = -3: f'(-3) = 0$.
7. 8x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
8. 2x + 1 — פתח: $x^{2}+x-2$, נגזרת 2x+1.
9. $(5, -16)$ — $f'(x) = 2x - 10$. נאפס: $2x + -10 = 0 ⇒ x = 5$. נציב: $f(5) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(5, -16)$.
10. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 1, 3)$.
11. 12 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x^{2} - 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 12$.
12. 5 — נגזרת של ax היא a. כאן $f'(x)=5$.
13. $y = 9x - 16$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2} - 3$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 16$.
14. $32\sqrt{3}/9$ — $A=2x(4-x^{2})=8x-2x^{3}. A'=8-6x^{2}=0 ⇒ x^{2}=\frac{4}{3}, x=2/\sqrt{3}. A=2 \cdot (2/\sqrt{3}) \cdot (4-\frac{4}{3})=(4/\sqrt{3}) \cdot (\frac{8}{3})=\frac{32}{3\sqrt{3}}=32\sqrt{3}/9$.
15. יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2 — $f'(x) = 2x - 4$. מאפסים: $x = 2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 2$. לכן: יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2.
16. −25 — $x-y=10 ⇒ x=y+10. P=(y+10)y=y^{2}+10y. P'=2y+10=0 ⇒ y=-5, x=5. P=5 \cdot (-5)=-25$.
17. 18x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 18x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
18. $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $(x)'=1, (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, (1)'=0$. סכום: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
19. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 6x$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 0, 2)$.
20. $y = -4$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 2$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(-1) = -4$. משוואת המשיק: $y - -4 = 0(x - -1) ⇒ y = -4$.
21. 8 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x - 8$. נציב $x = 4: f'(4) = 8$.
22. 10x − 3 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
23. 10x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
24. $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$ — $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, (-\frac{1}{x})' = +\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$.
25. 16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2. f''(x)=6x$; ב-$x=-2$ שלילי ⇒ מקסימום$. f(-2)=-8+24=16$.
26. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 8$. נציב $x = -4: f'(-4) = 0$.
27. $3x^{2} - 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
28. $(-4, -4)$ — $f'(x) = 2x + 8$. נאפס: $2x + 8 = 0 ⇒ x = -4$. נציב: $f(-4) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-4, -4)$.
29. $\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ — $\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}$ כפול $3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.
30. $x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2}, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
31. $3x^{2} - 9$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 9$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
32. 2 — $f'(x) = 3x^{2} + 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, -1)$.
33. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 6$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
34. $12x^{2} - 4$ — $f'(x) = 4x^{3} - 4x$, ולכן $f''(x) = 12x^{2} - 4 ($גוזרים פעמיים).
35. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 9x^{2} - 2$. נציב $x = -1: f'(-1) = 7$.