חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. −25 — $x-y=10 ⇒ x=y+10. P=(y+10)y=y^{2}+10y. P'=2y+10=0 ⇒ y=-5, x=5. P=5 \cdot (-5)=-25$.
2. $15(3x-2)^{4}$ — $5(3x-2)^{4}$ כפול $3 = 15(3x-2)^{4}$.
3. $3x^{2} + 4x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 4x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
4. $(2, 11)$ — $f'(x) = -4x + 8$. נאפס: $-4x + 8 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = 11$. מכיוון ש-a < 0 זוהי נקודת מקסימום: $(2, 11)$.
5. −3 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 6x$. נציב $x = -1: f'(-1) = -3$.
6. 12x + 2 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x + 2$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
7. $y = x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 7$, ובנקודה $m = 1$. ערך הפונקציה: $f(-3) = -2$. משוואת המשיק: $y - -2 = 1(x - -3) ⇒ y = x + 1$.
8. $-\frac{3}{x}^{2}$ — נגזרת של $3x^{-1}$ היא $-3x^{-2} = -\frac{3}{x}^{2}$.
9. 6 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x - 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 6$.
10. $5x^{4} - 6x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 5x^{4} - 6x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
11. $3x^{2} - 2x + 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 2x + 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
12. $\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$ — גוזרים איבר־איבר: $(\sqrt{x})' + (x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$.
13. 1 < x < 4 — המכפלה (x−1)(x−4) שלילית בין השורשים, כלומר 1<x<4, ושם f יורדת.
14. $(2, -5)$ — $f'(x) = 6x - 12$. נאפס: $6x + -12 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -5$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -5)$.
15. $(-3, -4)$ — $f'(x) = 2x + 6$. נאפס: $2x + 6 = 0 ⇒ x = -3$. נציב: $f(-3) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-3, -4)$.
16. יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3 — $f'(x) = 2x + 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -3$. לכן: יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3.
17. $-\frac{1}{x^{2}}$ — נגזרת של $\frac{1}{x} = x^{-1}$ היא $-x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$.
18. $-4(1-x)^{3}$ — $4(1-x)^{3}$ כפול נגזרת פנימית $(-1) = -4(1-x)^{3}$.
19. 8 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x - 8$. נציב $x = 4: f'(4) = 8$.
20. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 12x - 12$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
21. 12x + 2 — $f'(x) = 6x^{2} + 2x - 5$, ולכן $f''(x) = 12x + 2 ($גוזרים פעמיים).
22. 128 — $y=16-x. S=x^{2}+(16-x)^{2}. S'=2x-2(16-x)=4x-32=0 ⇒ x=8,y=8. S=64+64=128$.
23. יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6 — $f'(x) = 2x - 12$. מאפסים: $x = 6$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 6$. לכן: יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6.
24. 2x + 14 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x + 14$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
25. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 6$. נציב $x = -3: f'(-3) = 0$.
26. $(-1, 6)$ — $f'(x) = -2x - 2$. נאפס: $-2x + -2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = 6$. מכיוון ש-a < 0 זוהי נקודת מקסימום: $(-1, 6)$.
27. $x = 3$ — $f'(x) = 3x^{2} - 18x, f''(x) = 6x - 18$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 3$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
28. $x = -1$ — $f'(x) = 3x^{2} + 6x, f''(x) = 6x + 6$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = -1$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
29. $(2, -7)$ — $f'(x) = 4x - 8$. נאפס: $4x + -8 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -7$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -7)$.
30. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
31. $y = 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(2) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 0(x - 2) ⇒ y = 1$.
32. יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1 — $f'(x) = 4x - 4$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 1$. לכן: יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1.
33. $(1, -4)$ — $f'(x) = 2x - 2$. נאפס: $2x + -2 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -4)$.
34. $x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2} + 2, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
35. $12x^{2} - 12x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x^{2} - 12x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.