חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 8x + 12 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x + 12$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
2. 12x + 2 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x + 2$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
3. 2 — $f'(x) = 12 - 3x^{2}$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
4. $y = 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(2) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 0(x - 2) ⇒ y = 1$.
5. $x = 3$ — $f'(x) = 3x^{2} - 18x, f''(x) = 6x - 18$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 3$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
6. $-\frac{7}{x}^{2}$ — נגזרת של $7x^{-1}$ היא $-7x^{-2} = -\frac{7}{x}^{2}$.
7. 16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2. f''(x)=6x$; ב-$x=-2$ שלילי ⇒ מקסימום$. f(-2)=-8+24=16$.
8. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
9. 6 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x - 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 6$.
10. יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2 — $f'(x) = 6x + 12$. מאפסים: $x = -2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -2$. לכן: יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2.
11. 2 — $V=x(12-2x)^{2}. V'=(12-2x)^{2}+x \cdot 2(12-2x)(-2)=(12-2x)(12-6x)=0 ⇒ x=2 (x=6$ פוסל$). x=2$.
12. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 1, 3)$.
13. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 6x$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 0, 2)$.
14. $x/\sqrt{x^{2}+1}$ — נגזרת חיצונית $\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}$ כפול $2x = x/\sqrt{x^{2}+1}$.
15. $8x(x^{2}+1)^{3}$ — $3=4(x^{2}+1)^{3}$ כפול נגזרת פנימית $2x = 8x(x^{2}+1)^{3}$.
16. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 6$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
17. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
18. 12x + 2 — $f'(x) = 6x^{2} + 2x - 5$, ולכן $f''(x) = 12x + 2 ($גוזרים פעמיים).
19. $(-6, -16)$ — $f'(x) = 2x + 12$. נאפס: $2x + 12 = 0 ⇒ x = -6$. נציב: $f(-6) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-6, -16)$.
20. יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1 — $f'(x) = 2x - 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 1$. לכן: יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1.
21. $4x^{3} - 12x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
22. $8(2x-1)^{3}$ — $4(2x-1)^{3}$ כפול $2 = 8(2x-1)^{3}$.
23. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 6$. נציב $x = -3: f'(-3) = 0$.
24. 10 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 2$. נציב $x = 4: f'(4) = 10$.
25. $2(x^{3}+x)(3x^{2}+1)$ — $2(x^{3}+x)$ כפול נגזרת פנימית $(3x^{2}+1)$.
26. $y = -16$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 8$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(4) = -16$. משוואת המשיק: $y - -16 = 0(x - 4) ⇒ y = -16$.
27. $\frac{1}{x+1}^{2}$ — כלל המנה: $[1 \cdot (x+1) - x \cdot 1]/(x+1)^{2} = \frac{1}{x+1}^{2}$.
28. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 27$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 3)$.
29. −16 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 8x$. נציב $x = -2: f'(-2) = -16$.
30. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 5$. נציב $x = 5: f'(5) = 5$.
31. 2 — $f''(x) = 12x^{2} - 24x$. מספר הנקודות שבהן f'' מתאפסת ומחליפה סימן הוא 2.
32. $-3x^{2} + 4x + 5$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -3x^{2} + 4x + 5$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
33. 1250 — $2x+y=100 ⇒ y=100-2x. A=x(100-2x)=100x-2x^{2}. A'=100-4x=0 ⇒ x=25, y=50. A=25 \cdot 50=1250$.
34. $x = 2$ — משיק מקביל לציר x ⇒ שיפוע $0. f'(x)=2x-4=0 ⇒ x=2$.
35. 2x + 1 — פתח: $x^{2}+x-2$, נגזרת 2x+1.