חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $y = 8x - 7$ — שיפוע: $f'(x) = 8x$, ובנקודה $m = 8$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 8(x - 1) ⇒ y = 8x - 7$.
2. 12x − 1 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
3. עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3 — $f'(x) = -2x - 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = -3$. לכן: עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3.
4. $4x^{3} - 12x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
5. $y = 3x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 3$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 3(x - 0) ⇒ y = 3x + 1$.
6. −2 — $f'=3x^{2}-3=0 ⇒ x= \pm 1. f''=6x$; ב-$x=1$ חיובי ⇒ מינימום$. f(1)=1-3=-2$.
7. $(-1, -16)$ — $f'(x) = 2x + 2$. נאפס: $2x + 2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -16)$.
8. $6x^{2} - 10x + 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} - 10x + 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
9. $(7, -9)$ — $f'(x) = 2x - 14$. נאפס: $2x + -14 = 0 ⇒ x = 7$. נציב: $f(7) = -9$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(7, -9)$.
10. 6 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x - 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 6$.
11. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 1$. נציב $x = 3: f'(3) = 5$.
12. $(2, -1)$ — $f'(x) = 2x - 4$. נאפס: $2x + -4 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -1)$.
13. $(-3, -4)$ — $f'(x) = 2x + 6$. נאפס: $2x + 6 = 0 ⇒ x = -3$. נציב: $f(-3) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-3, -4)$.
14. $3x^{2} + 4x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 4x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
15. 2x + 10 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x + 10$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
16. −3 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x + 1$. נציב $x = -1: f'(-1) = -3$.
17. $-\frac{3}{x+2}^{2}$ — $[0 - 3 \cdot 1]/(x+2)^{2} = -\frac{3}{x+2}^{2}$.
18. −4x + 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -4x + 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
19. 6x + 4 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x + 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
20. 16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2. f''(x)=6x$; ב-$x=-2$ שלילי ⇒ מקסימום$. f(-2)=-8+24=16$.
21. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 1$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -sqrt\frac{3}{3}, sqrt\frac{3}{3})$.
22. $1/\sqrt{x}$ — נגזרת של $2\sqrt{x}: 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1/\sqrt{x}$.
23. יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1 — $f'(x) = 2x - 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 1$. לכן: יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1.
24. $(\frac{3}{2})\sqrt{x}$ — $x^{\frac{3}{2}}$ נגזרת: $(\frac{3}{2})x^{\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2})\sqrt{x}$.
25. 10x − 3 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
26. 7 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 7$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
27. $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$ — $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, (-\frac{1}{x})' = +\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^{2}}$.
28. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 4x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(1) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 1) ⇒ y = -1$.
29. $8(2x-1)^{3}$ — $4(2x-1)^{3}$ כפול $2 = 8(2x-1)^{3}$.
30. 1 < x < 4 — המכפלה (x−1)(x−4) שלילית בין השורשים, כלומר 1<x<4, ושם f יורדת.
31. $x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2} + 2, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
32. −16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2$. ב-$x=2: f''>0 ⇒$ מינימום$. f(2)=8-24=-16$.
33. קעור כלפי מעלה — $f''(x)=6x$. עבור x>0 מתקיים $f''(x)>0$, ולכן הגרף קעור כלפי מעלה.
34. $(3, 0)$ — $f'(x) = 4x - 12$. נאפס: $4x + -12 = 0 ⇒ x = 3$. נציב: $f(3) = 0$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(3, 0)$.
35. 2 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 2$.