חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(2, -7)$ — $f'(x) = 4x - 8$. נאפס: $4x + -8 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -7$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -7)$.
2. $\frac{6}{x+3}^{2}$ — $[2(x+3) - 2x \cdot 1]/(x+3)^{2} = \frac{6}{x+3}^{2}$.
3. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 8$. נציב $x = -4: f'(-4) = 0$.
4. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
5. $y = 3x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 3$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 3(x - 0) ⇒ y = 3x + 1$.
6. $-\frac{3}{x+2}^{2}$ — $[0 - 3 \cdot 1]/(x+2)^{2} = -\frac{3}{x+2}^{2}$.
7. 32 — $xy=64 ⇒ y=\frac{64}{x}. P=2(x+\frac{64}{x}). P'=2(1-\frac{64}{x}^{2})=0 ⇒ x=8,y=8. P=2 \cdot 16=32$.
8. $9x^{2} - 9$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 9x^{2} - 9$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
9. 12x − 1 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
10. $y = -16$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 8$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(4) = -16$. משוואת המשיק: $y - -16 = 0(x - 4) ⇒ y = -16$.
11. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 48$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -4, 4)$.
12. 2 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 2$.
13. $(-4, -4)$ — $f'(x) = 2x + 8$. נאפס: $2x + 8 = 0 ⇒ x = -4$. נציב: $f(-4) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-4, -4)$.
14. −16 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 8x$. נציב $x = -2: f'(-2) = -16$.
15. $x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2}, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
16. $3x^{2} + 12x + 12$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 12x + 12$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
17. 18x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 18x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
18. 2x − 6 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 6$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
19. $6x^{2} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
20. 10x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
21. יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2 — $f'(x) = 6x + 12$. מאפסים: $x = -2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -2$. לכן: יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2.
22. $(1, -4)$ — $f'(x) = 2x - 2$. נאפס: $2x + -2 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -4)$.
23. $(2, -1)$ — $f'(x) = 2x - 4$. נאפס: $2x + -4 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -1)$.
24. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -4x + 4$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
25. 2 — $f'(x) = 3x^{2} + 6x - 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 1)$.
26. 100 — $x+y=20 ⇒ y=20-x. P=x(20-x)=20x-x^{2}. P'=20-2x=0 ⇒ x=10, y=10$. מכפלה: 100.
27. 4x − 7 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x - 7$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
28. −2 — $f'=3x^{2}-3=0 ⇒ x= \pm 1. f''=6x$; ב-$x=1$ חיובי ⇒ מינימום$. f(1)=1-3=-2$.
29. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 27$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 3)$.
30. $15x^{2} + 4x - 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 15x^{2} + 4x - 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
31. 128 — $y=16-x. S=x^{2}+(16-x)^{2}. S'=2x-2(16-x)=4x-32=0 ⇒ x=8,y=8. S=64+64=128$.
32. $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ — $(x^{3})' = 3x^{2}, (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
33. יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4 — $f'(x) = 2x - 8$. מאפסים: $x = 4$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 4$. לכן: יורדת ב-x < 4, עולה ב-x > 4.
34. $6(2x+1)^{2}$ — כלל השרשרת: נגזרת חיצונית $3(2x+1)^{2}$ כפול נגזרת פנימית $2 = 6(2x+1)^{2}$.
35. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 6$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.