חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 8 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x - 8$. נציב $x = 4: f'(4) = 8$.
2. $3x^{2} + 2x$ — כלל המכפלה: $2x \cdot (x+1) + x^{2} \cdot 1 = 2x^{2}+2x+x^{2} = 3x^{2}+2x. ($או פתח: $x^{3}+x^{2}$, נגזרת $3x^{2}+2x)$.
3. $3x^{2} + 4x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 4x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
4. $y = 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(2) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 0(x - 2) ⇒ y = 1$.
5. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 48$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -4, 4)$.
6. −16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2$. ב-$x=2: f''>0 ⇒$ מינימום$. f(2)=8-24=-16$.
7. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 6$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(3) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 3) ⇒ y = -1$.
8. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 27$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 3)$.
9. $4x^{3} - 12x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
10. 2 — $f''(x) = 12x^{2} - 24x$. מספר הנקודות שבהן f'' מתאפסת ומחליפה סימן הוא 2.
11. $y = 9x - 16$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2} - 3$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 16$.
12. $y = 4x - 9$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 2$, ובנקודה $m = 4$. ערך הפונקציה: $f(3) = 3$. משוואת המשיק: $y - 3 = 4(x - 3) ⇒ y = 4x - 9$.
13. $6 \times 6$ — $y=12-x, A=x(12-x), A'=12-2x=0 ⇒ x=6,y=6$. ריבוע $6 \times 6$.
14. 2 — $f'(x) = 2x + 4$, ולכן $f''(x) = 2 ($גוזרים פעמיים).
15. $(-1, 6)$ — $f'(x) = -2x - 2$. נאפס: $-2x + -2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = 6$. מכיוון ש-a < 0 זוהי נקודת מקסימום: $(-1, 6)$.
16. $(1, -3)$ — $f'(x) = 10x - 10$. נאפס: $10x + -10 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
17. $15x^{2} + 4x - 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 15x^{2} + 4x - 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
18. $-9x^{2} + 2x - 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -9x^{2} + 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
19. $6x^{2} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
20. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
21. $x/\sqrt{x^{2}+1}$ — נגזרת חיצונית $\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}$ כפול $2x = x/\sqrt{x^{2}+1}$.
22. עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1 — $f'(x) = -2x + 2$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = 1$. לכן: עולה ב-x < 1, יורדת ב-x > 1.
23. $-2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$ — $[0 \cdot (x^{2}+1) - 1 \cdot 2x]/(x^{2}+1)^{2} = -2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$.
24. 2 — $f'(x) = 3x^{2} + 6x - 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 1)$.
25. $12x^{3} - 16x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x^{3} - 16x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
26. $y = 3x + 3$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2}$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(-1) = 0$. משוואת המשיק: $y - 0 = 3(x - -1) ⇒ y = 3x + 3$.
27. −2 — $f'=3x^{2}-3=0 ⇒ x= \pm 1. f''=6x$; ב-$x=1$ חיובי ⇒ מינימום$. f(1)=1-3=-2$.
28. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 3$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
29. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
30. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
31. יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2 — $f'(x) = 6x + 12$. מאפסים: $x = -2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -2$. לכן: יורדת ב-x < −2, עולה ב-x > −2.
32. יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6 — $f'(x) = 2x - 12$. מאפסים: $x = 6$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 6$. לכן: יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6.
33. $(-4, -4)$ — $f'(x) = 2x + 8$. נאפס: $2x + 8 = 0 ⇒ x = -4$. נציב: $f(-4) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-4, -4)$.
34. $15(3x-2)^{4}$ — $5(3x-2)^{4}$ כפול $3 = 15(3x-2)^{4}$.
35. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.