חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$ — $[2x(x-1) - x^{2} \cdot 1]/(x-1)^{2} = \frac{2x^{2}-2x-x^{2}}{x-1}^{2} = \frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$.
2. $-\frac{2}{x-1}^{2}$ — $[(1)(x-1)-(x+1)(1)]/(x-1)^{2} = \frac{x-1-x-1}{x-1}^{2} = -\frac{2}{x-1}^{2}$.
3. $3x^{2} + 12x + 12$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 12x + 12$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
4. 2 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 2$.
5. $y = 2x$ — שיפוע: $f'(x) = 2x$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(1) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x$.
6. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 6x$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 0, 2)$.
7. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 6$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
8. 4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 4$. נציב $x = 0: f'(0) = 4$.
9. 0 — נגזרת של פונקציה קבועה תמיד שווה 0, כי השיפוע אפס.
10. יורדת ב-x < −5, עולה ב-x > −5 — $f'(x) = 2x + 10$. מאפסים: $x = -5$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -5$. לכן: יורדת ב-x < −5, עולה ב-x > −5.
11. 2 — $V=x(12-2x)^{2}. V'=(12-2x)^{2}+x \cdot 2(12-2x)(-2)=(12-2x)(12-6x)=0 ⇒ x=2 (x=6$ פוסל$). x=2$.
12. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
13. 12x + 2 — $f'(x) = 6x^{2} + 2x - 5$, ולכן $f''(x) = 12x + 2 ($גוזרים פעמיים).
14. $(1, -3)$ — $f'(x) = 8x - 8$. נאפס: $8x + -8 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
15. $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$ — $x^{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}}$, נגזרת $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$.
16. $x = 3$ — $f'(x)=2x$. דרוש $2x=6 ⇒ x=3$.
17. 4x − 7 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x - 7$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
18. יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3 — $f'(x) = 2x + 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -3$. לכן: יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3.
19. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -3x^{2} + 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 0$.
20. $(-3, -4)$ — $f'(x) = 2x + 6$. נאפס: $2x + 6 = 0 ⇒ x = -3$. נציב: $f(-3) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-3, -4)$.
21. $-9x^{2} + 2x - 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -9x^{2} + 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
22. $3x^{2} + 4x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 4x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
23. 2 — $f'=2x-\frac{16}{x}^{2}=0 ⇒ 2x^{3}=16 ⇒ x^{3}=8 ⇒ x=2$.
24. 100 — $x+y=20 ⇒ y=20-x. P=x(20-x)=20x-x^{2}. P'=20-2x=0 ⇒ x=10, y=10$. מכפלה: 100.
25. $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ — $(x^{3})' = 3x^{2}, (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
26. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 1, 3)$.
27. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 4x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(1) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 1) ⇒ y = -1$.
28. 8 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x - 8$. נציב $x = 4: f'(4) = 8$.
29. $5x^{4} - 6x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 5x^{4} - 6x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
30. $y = x - 4$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 5$, ובנקודה $m = 1$. ערך הפונקציה: $f(-2) = -6$. משוואת המשיק: $y - -6 = 1(x - -2) ⇒ y = x - 4$.
31. 2x − 1 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
32. $-4x^{3} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -4x^{3} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
33. $2/\sqrt{x}$ — נגזרת של $4\sqrt{x}: 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2/\sqrt{x}$.
34. $y = 9x - 8$ — שיפוע: $f'(x) = 4x + 1$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 10$. משוואת המשיק: $y - 10 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 8$.
35. יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1 — $f'(x) = 4x - 4$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 1$. לכן: יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1.