חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 8x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
2. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
3. $3x^{2} - 6x + 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
4. $y = 3x + 3$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2}$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(-1) = 0$. משוואת המשיק: $y - 0 = 3(x - -1) ⇒ y = 3x + 3$.
5. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
6. $3x^{2} - 3$ — פתח: $x^{3}-3x$, נגזרת $3x^{2}-3. ($או כלל מכפלה: $1 \cdot (x^{2}-3)+x \cdot 2x)$.
7. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 9x^{2} - 2$. נציב $x = -1: f'(-1) = 7$.
8. $5x^{4} - 6x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 5x^{4} - 6x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
9. $(-1, -3)$ — $f'(x) = 4x + 4$. נאפס: $4x + 4 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -3)$.
10. 12 — $y=\frac{36}{x}, S=x+\frac{36}{x}. S'=1-\frac{36}{x}^{2}=0 ⇒ x^{2}=36 ⇒ x=6, y=6. S=12$.
11. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 27$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 3)$.
12. $x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2}, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
13. 2x + 1 — פתח: $x^{2}+x-2$, נגזרת 2x+1.
14. $(2, -7)$ — $f'(x) = 4x - 8$. נאפס: $4x + -8 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -7$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -7)$.
15. 7 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 7$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
16. 12x + 2 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x + 2$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
17. $-\frac{1}{2}$ — $f=x+x^{2}, f'=1+2x=0 ⇒ x=-\frac{1}{2}$.
18. 6x − 6 — $f'(x) = 3x^{2} - 6x$, ולכן $f''(x) = 6x - 6 ($גוזרים פעמיים).
19. $12x^{2} - 12x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x^{2} - 12x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
20. 9 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 3$. נציב $x = 2: f'(2) = 9$.
21. $15x^{2} + 4x - 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 15x^{2} + 4x - 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
22. 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
23. $3x^{2} + 2x$ — כלל המכפלה: $2x \cdot (x+1) + x^{2} \cdot 1 = 2x^{2}+2x+x^{2} = 3x^{2}+2x. ($או פתח: $x^{3}+x^{2}$, נגזרת $3x^{2}+2x)$.
24. 128 — $y=16-x. S=x^{2}+(16-x)^{2}. S'=2x-2(16-x)=4x-32=0 ⇒ x=8,y=8. S=64+64=128$.
25. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 3$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -1, 1)$.
26. 4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 4$. נציב $x = 0: f'(0) = 4$.
27. $-\frac{12}{x}^{3}$ — נגזרת של $6x^{-2}$ היא $-12x^{-3} = -\frac{12}{x}^{3}$.
28. 2(x − 3) — כלל השרשרת: 2(x−3) כפול נגזרת פנימית $1 = 2(x-3). ($או פתח $x^{2}-6x+9$, נגזרת $2x-6=2(x-3))$.
29. $-2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$ — $[0 \cdot (x^{2}+1) - 1 \cdot 2x]/(x^{2}+1)^{2} = -2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$.
30. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
31. $y = -x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 1$, ובנקודה $m = -1$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = -1(x - 0) ⇒ y = -x + 1$.
32. $(-3, -4)$ — $f'(x) = 2x + 6$. נאפס: $2x + 6 = 0 ⇒ x = -3$. נציב: $f(-3) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-3, -4)$.
33. יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1 — $f'(x) = 4x - 4$. מאפסים: $x = 1$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 1$. לכן: יורדת ב-x < 1, עולה ב-x > 1.
34. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 1$.
35. 2 — $f'=2x-\frac{16}{x}^{2}=0 ⇒ 2x^{3}=16 ⇒ x^{3}=8 ⇒ x=2$.