חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 10(5x+3) — 2(5x+3) כפול $5 = 10(5x+3)$.
2. $(2, -1)$ — $f'(x) = 2x - 4$. נאפס: $2x + -4 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -1)$.
3. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
4. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 10x - 10$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
5. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 4x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(1) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 1) ⇒ y = -1$.
6. 2 — $V=x(12-2x)^{2}. V'=(12-2x)^{2}+x \cdot 2(12-2x)(-2)=(12-2x)(12-6x)=0 ⇒ x=2 (x=6$ פוסל$). x=2$.
7. $(-4, -4)$ — $f'(x) = 2x + 8$. נאפס: $2x + 8 = 0 ⇒ x = -4$. נציב: $f(-4) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-4, -4)$.
8. 12 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x^{2} - 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 12$.
9. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 9x^{2} - 2$. נציב $x = -1: f'(-1) = 7$.
10. 18x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 18x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
11. $-2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$ — $[0 \cdot (x^{2}+1) - 1 \cdot 2x]/(x^{2}+1)^{2} = -2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$.
12. $y = 9x - 16$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2} - 3$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 16$.
13. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 1$.
14. $6x^{2} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
15. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 6$. נציב $x = -3: f'(-3) = 0$.
16. $y = 4x - 3$ — שיפוע: $f'(x) = 4x$, ובנקודה $m = 4$. ערך הפונקציה: $f(1) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 4(x - 1) ⇒ y = 4x - 3$.
17. $3x^{2} - 2x + 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 2x + 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
18. 2 — $f'(x) = 3x^{2} + 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, -1)$.
19. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 8$. נציב $x = -4: f'(-4) = 0$.
20. −4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 10$. נציב $x = 3: f'(3) = -4$.
21. יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6 — $f'(x) = 2x - 12$. מאפסים: $x = 6$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 6$. לכן: יורדת ב-x < 6, עולה ב-x > 6.
22. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 1$. נציב $x = 3: f'(3) = 5$.
23. 2(x − 3) — כלל השרשרת: 2(x−3) כפול נגזרת פנימית $1 = 2(x-3). ($או פתח $x^{2}-6x+9$, נגזרת $2x-6=2(x-3))$.
24. 4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 4$. נציב $x = 0: f'(0) = 4$.
25. $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ — $(x^{3})' = 3x^{2}, (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
26. −3 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 6x$. נציב $x = -1: f'(-1) = -3$.
27. $-\frac{6}{x}^{4}$ — נגזרת של $2x^{-3}$ היא $-6x^{-4} = -\frac{6}{x}^{4}$.
28. 2x + 1 — פתח: $x^{2}+x-2$, נגזרת 2x+1.
29. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 1$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -sqrt\frac{3}{3}, sqrt\frac{3}{3})$.
30. עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3 — $f'(x) = -2x - 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a < 0, הפונקציה עולה ואז יורדת סביב $x = -3$. לכן: עולה ב-x < −3, יורדת ב-x > −3.
31. 5 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 5$. נציב $x = 5: f'(5) = 5$.
32. 5 — נגזרת של ax היא a. כאן $f'(x)=5$.
33. 12 — $y=\frac{36}{x}, S=x+\frac{36}{x}. S'=1-\frac{36}{x}^{2}=0 ⇒ x^{2}=36 ⇒ x=6, y=6. S=12$.
34. $3x^{2} - 3$ — פתח: $x^{3}-3x$, נגזרת $3x^{2}-3. ($או כלל מכפלה: $1 \cdot (x^{2}-3)+x \cdot 2x)$.
35. $x = 2$ — $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9, f''(x) = 6x - 12$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 2$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.