חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(7, -9)$ — $f'(x) = 2x - 14$. נאפס: $2x + -14 = 0 ⇒ x = 7$. נציב: $f(7) = -9$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(7, -9)$.
2. 2 — $f''(x) = 12x^{2} - 24x$. מספר הנקודות שבהן f'' מתאפסת ומחליפה סימן הוא 2.
3. $y = x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 7$, ובנקודה $m = 1$. ערך הפונקציה: $f(-3) = -2$. משוואת המשיק: $y - -2 = 1(x - -3) ⇒ y = x + 1$.
4. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -3x^{2} + 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 0$.
5. $-\frac{7}{x}^{2}$ — נגזרת של $7x^{-1}$ היא $-7x^{-2} = -\frac{7}{x}^{2}$.
6. $3x^{2} - 6x + 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
7. $6x^{2} - 10x + 4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} - 10x + 4$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
8. 18x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 18x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
9. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 12$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
10. $12x^{2} - 4$ — $f'(x) = 4x^{3} - 4x$, ולכן $f''(x) = 12x^{2} - 4 ($גוזרים פעמיים).
11. $y = -4$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 2$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(-1) = -4$. משוואת המשיק: $y - -4 = 0(x - -1) ⇒ y = -4$.
12. $8(2x-1)^{3}$ — $4(2x-1)^{3}$ כפול $2 = 8(2x-1)^{3}$.
13. $8x^{3} - 3x^{2}$ — פתח: $2x^{4}-x^{3}$, נגזרת $8x^{3}-3x^{2}$.
14. $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ — $(x^{3})' = 3x^{2}, (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
15. $x = 0$ — $f'(x) = 3x^{2}, f''(x) = 6x$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = 0$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.
16. $y = 9x - 16$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2} - 3$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 2$. משוואת המשיק: $y - 2 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 16$.
17. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
18. $-4x^{3} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -4x^{3} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
19. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 4x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(1) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 1) ⇒ y = -1$.
20. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
21. $y = -x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 1$, ובנקודה $m = -1$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = -1(x - 0) ⇒ y = -x + 1$.
22. −10x + 10 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -10x + 10$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
23. $y = 2x - 1$ — שיפוע: $f'(x) = 6x + 2$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(0) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 2(x - 0) ⇒ y = 2x - 1$.
24. 16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2. f''(x)=6x$; ב-$x=-2$ שלילי ⇒ מקסימום$. f(-2)=-8+24=16$.
25. 15 — $P=x(30-x)=30x-x^{2}, P'=30-2x=0 ⇒ x=15$.
26. $-9x^{2} + 2x - 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -9x^{2} + 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
27. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 6$. נציב $x = -3: f'(-3) = 0$.
28. $-2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$ — $[0 \cdot (x^{2}+1) - 1 \cdot 2x]/(x^{2}+1)^{2} = -2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$.
29. −4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x - 10$. נציב $x = 3: f'(3) = -4$.
30. 12 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 10x + 2$. נציב $x = 1: f'(1) = 12$.
31. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 27$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 3)$.
32. $(1, -4)$ — $f'(x) = 2x - 2$. נאפס: $2x + -2 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -4$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -4)$.
33. יורדת ב-x < −5, עולה ב-x > −5 — $f'(x) = 2x + 10$. מאפסים: $x = -5$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -5$. לכן: יורדת ב-x < −5, עולה ב-x > −5.
34. $x = 3$ — $f'(x)=2x$. דרוש $2x=6 ⇒ x=3$.
35. $x = -1$ — $f'(x) = 3x^{2} + 6x, f''(x) = 6x + 6$. מאפסים את הנגזרת השנייה: $x = -1$, ושם f'' מחליפה סימן ⇒ נקודת פיתול.