חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$ — $x^{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}}$, נגזרת $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$.
2. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 6$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(3) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 3) ⇒ y = -1$.
3. $12x^{2} - 4$ — $f'(x) = 4x^{3} - 4x$, ולכן $f''(x) = 12x^{2} - 4 ($גוזרים פעמיים).
4. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 8$. נציב $x = -4: f'(-4) = 0$.
5. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 9x^{2} - 2$. נציב $x = -1: f'(-1) = 7$.
6. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 27$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, 3)$.
7. 2 — $f''(x) = 12x^{2} - 24x$. מספר הנקודות שבהן f'' מתאפסת ומחליפה סימן הוא 2.
8. יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3 — $f'(x) = 2x + 6$. מאפסים: $x = -3$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = -3$. לכן: יורדת ב-x < −3, עולה ב-x > −3.
9. $y = 3x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 3$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = 3(x - 0) ⇒ y = 3x + 1$.
10. 1 < x < 4 — המכפלה (x−1)(x−4) שלילית בין השורשים, כלומר 1<x<4, ושם f יורדת.
11. $1/\sqrt{x}$ — נגזרת של $2\sqrt{x}: 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1/\sqrt{x}$.
12. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 12x - 12$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
13. −4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 8x + 4$. נציב $x = -1: f'(-1) = -4$.
14. 2x + 10 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x + 10$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
15. $15(3x-2)^{4}$ — $5(3x-2)^{4}$ כפול $3 = 15(3x-2)^{4}$.
16. 12x + 2 — $f'(x) = 6x^{2} + 2x - 5$, ולכן $f''(x) = 12x + 2 ($גוזרים פעמיים).
17. $(-1, -16)$ — $f'(x) = 2x + 2$. נאפס: $2x + 2 = 0 ⇒ x = -1$. נציב: $f(-1) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-1, -16)$.
18. 10x − 3 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
19. $(1, -3)$ — $f'(x) = 8x - 8$. נאפס: $8x + -8 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
20. $\frac{6}{x+3}^{2}$ — $[2(x+3) - 2x \cdot 1]/(x+3)^{2} = \frac{6}{x+3}^{2}$.
21. 0 — נגזרת של פונקציה קבועה תמיד שווה 0, כי השיפוע אפס.
22. $\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$ — גוזרים איבר־איבר: $(\sqrt{x})' + (x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$.
23. 25 — היקף $20 ⇒ x+y=10, A=x(10-x), A'=10-2x=0 ⇒ x=5 ($ריבוע$). A=25$.
24. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 10x - 10$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
25. $12x^{3} - 16x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x^{3} - 16x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
26. יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2 — $f'(x) = 2x - 4$. מאפסים: $x = 2$. מכיוון ש-a > 0, הפונקציה יורדת ואז עולה סביב $x = 2$. לכן: יורדת ב-x < 2, עולה ב-x > 2.
27. $(2, 5)$ — $f'(x) = -2x + 4$. נאפס: $-2x + 4 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = 5$. מכיוון ש-a < 0 זוהי נקודת מקסימום: $(2, 5)$.
28. $6x^{2} + 6x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 6x^{2} + 6x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
29. −3 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x + 1$. נציב $x = -1: f'(-1) = -3$.
30. 8x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
31. $(2, -1)$ — $f'(x) = 2x - 4$. נאפס: $2x + -4 = 0 ⇒ x = 2$. נציב: $f(2) = -1$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(2, -1)$.
32. −25 — $x-y=10 ⇒ x=y+10. P=(y+10)y=y^{2}+10y. P'=2y+10=0 ⇒ y=-5, x=5. P=5 \cdot (-5)=-25$.
33. $3x^{2} + 4x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 4x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
34. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
35. −4x + 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -4x + 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.