חשבון דיפרנציאלי — תרגול נגזרות לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"א)

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 4$. נציב $x = 0: f'(0) = 4$.
2. $\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ — $\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}$ כפול $3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.
3. $3x^{2} - 6x + 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
4. $8(2x-1)^{3}$ — $4(2x-1)^{3}$ כפול $2 = 8(2x-1)^{3}$.
5. $21x^{2} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 21x^{2} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
6. −16 — $f'(x)=3x^{2}-12=0 ⇒ x= \pm 2$. ב-$x=2: f''>0 ⇒$ מינימום$. f(2)=8-24=-16$.
7. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
8. $(-6, -16)$ — $f'(x) = 2x + 12$. נאפס: $2x + 12 = 0 ⇒ x = -6$. נציב: $f(-6) = -16$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(-6, -16)$.
9. $y = -x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 1$, ובנקודה $m = -1$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = -1(x - 0) ⇒ y = -x + 1$.
10. $8x^{3} - 3x^{2}$ — פתח: $2x^{4}-x^{3}$, נגזרת $8x^{3}-3x^{2}$.
11. $-\frac{2}{x}^{3}$ — נגזרת של $x^{-2}$ היא $-2x^{-3} = -\frac{2}{x}^{3}$.
12. 2(x − 3) — כלל השרשרת: 2(x−3) כפול נגזרת פנימית $1 = 2(x-3). ($או פתח $x^{2}-6x+9$, נגזרת $2x-6=2(x-3))$.
13. $-\frac{7}{x}^{2}$ — נגזרת של $7x^{-1}$ היא $-7x^{-2} = -\frac{7}{x}^{2}$.
14. 128 — $y=16-x. S=x^{2}+(16-x)^{2}. S'=2x-2(16-x)=4x-32=0 ⇒ x=8,y=8. S=64+64=128$.
15. $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$ — $x^{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}}$, נגזרת $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$.
16. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 6x$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = 0, 2)$.
17. $(1, -3)$ — $f'(x) = 8x - 8$. נאפס: $8x + -8 = 0 ⇒ x = 1$. נציב: $f(1) = -3$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(1, -3)$.
18. $-9x^{2} + 2x - 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -9x^{2} + 2x - 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
19. $5x^{4} - 6x^{2}$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 5x^{4} - 6x^{2}$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
20. $(7, -9)$ — $f'(x) = 2x - 14$. נאפס: $2x + -14 = 0 ⇒ x = 7$. נציב: $f(7) = -9$. מכיוון ש-a > 0 זוהי נקודת מינימום: $(7, -9)$.
21. 15 — $P=x(30-x)=30x-x^{2}, P'=30-2x=0 ⇒ x=15$.
22. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -3x^{2} + 6x$. נציב $x = 2: f'(2) = 0$.
23. $4x^{3} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 4x^{3} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
24. $y = 2x - 1$ — שיפוע: $f'(x) = 6x + 2$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(0) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 2(x - 0) ⇒ y = 2x - 1$.
25. $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ — $(x^{3})' = 3x^{2}, (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^{2}}$. סכום: $3x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$.
26. 2x − 8 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x - 8$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
27. $\frac{1}{x+1}^{2}$ — כלל המנה: $[1 \cdot (x+1) - x \cdot 1]/(x+1)^{2} = \frac{1}{x+1}^{2}$.
28. 0 — נגזרת של פונקציה קבועה תמיד שווה 0, כי השיפוע אפס.
29. קעור כלפי מעלה — $f''(x)=6x$. עבור x>0 מתקיים $f''(x)>0$, ולכן הגרף קעור כלפי מעלה.
30. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 9x^{2} - 2$. נציב $x = -1: f'(-1) = 7$.
31. 1 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2x + 1$. נציב $x = 0: f'(0) = 1$.
32. $8x(x^{2}+1)^{3}$ — $3=4(x^{2}+1)^{3}$ כפול נגזרת פנימית $2x = 8x(x^{2}+1)^{3}$.
33. 100 — $x+y=20 ⇒ y=20-x. P=x(20-x)=20x-x^{2}. P'=20-2x=0 ⇒ x=10, y=10$. מכפלה: 100.
34. $y = 9x - 8$ — שיפוע: $f'(x) = 4x + 1$, ובנקודה $m = 9$. ערך הפונקציה: $f(2) = 10$. משוואת המשיק: $y - 10 = 9(x - 2) ⇒ y = 9x - 8$.
35. $-\frac{1}{x^{2}}$ — נגזרת של $\frac{1}{x} = x^{-1}$ היא $-x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$.