גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות ופתרונות

1. $5$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(3)^2}=\sqrt{25}=5$.
2. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
3. $2\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
4. $y=3x$ — שיפוע $m=\frac{3-(0)}{1-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=0-(3)\cdot0=0$. לכן $y=3x$.
5. $(-1,2),\ r=3$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-1,2)$ והרדיוס $r=\sqrt{9}=3$.
6. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
7. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{10-(0)}{5-(0)} = \frac{10}{5} = 2$.
8. $y=\frac{1}{2}x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=\frac{1}{2}$. נציב את הנקודה: $b=3-(\frac{1}{2})\cdot4=1$, ולכן $y=\frac{1}{2}x+1$.
9. $30^\circ$ — $\sin\theta = \frac{6}{12} = \frac12$, ולכן $\theta = 30^\circ$.
10. $y=2x-2$ — שיפוע $m=\frac{4-(0)}{3-(1)}=2$. נציב נקודה: $b=0-(2)\cdot1=-2$. לכן $y=2x-2$.
11. $y=2x+5$ — שיפוע $m=\frac{5-(1)}{0-(-2)}=2$. נציב נקודה: $b=1-(2)\cdot-2=5$. לכן $y=2x+5$.
12. $(4,6)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{0+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(4,6)$.
13. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $30^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$.
14. $y=3x-2$ — שיפוע $m=\frac{4-(1)}{2-(1)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot1=-2$. לכן $y=3x-2$.
15. $(4,6)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{4+8}{2}\right)=(4,6)$.
16. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
17. $(0,6)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=6$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,6)$.
18. לא — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. לא מתקבל שוויון — הנקודה אינה על הישר.
19. $y=3x+1$ — שיפוע $m=\frac{10-(4)}{3-(1)}=3$. נציב נקודה: $b=4-(3)\cdot1=1$. לכן $y=3x+1$.
20. $(0,0)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.
21. $70^\circ$ — סכום הזוויות $180^\circ$, ושתי זוויות הבסיס שוות: $\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$.
22. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(3)}{5-(2)} = \frac{6}{3} = 2$.
23. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
24. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(4,4)$.
25. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(2)} = \frac{6}{2} = 3$.
26. $y=-x+3$ — שיפוע $m=\frac{0-(3)}{3-(0)}=-1$. נציב נקודה: $b=3-(-1)\cdot0=3$. לכן $y=-x+3$.
27. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
28. $m=-\frac{1}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-\frac{1}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-\frac{1}{3}$.
29. $\frac{4}{5}$ — היחס $\frac{4}{3}$ מתאים למשולש $3,4,5$, ולכן $\sin\theta=\frac{4}{5}$.
30. $360^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $2\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 360^\circ$.