📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. $(5,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נציב במשוואה $y=-x+5$ ונקבל $0=-x+5$, נפתור: $x=5$, ולכן נקודת החיתוך היא $(5,0)$.
2. $(1,3)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.
3. $30^\circ$ — $\sin\theta = \frac{6}{12} = \frac12$, ולכן $\theta = 30^\circ$.
4. $y=\frac{1}{2}x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=\frac{1}{2}$. נציב את הנקודה: $b=3-(\frac{1}{2})\cdot4=1$, ולכן $y=\frac{1}{2}x+1$.
5. $m=2$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $2$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $2$.
6. $y=x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=1(x-(3))$, כלומר $y=1x-3$.
7. $(0,4)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=4$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,4)$.
8. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{10-(0)}{5-(0)} = \frac{10}{5} = 2$.
9. $y=2x$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=2(x-(0))$, כלומר $y=2x$.
10. כן — נציב את שיעורי הנקודה $(0,0)$ במשוואת המעגל $(x+2)^2+y^2=4$: $(0+2)^2+0^2=4+0=4$. מתקבל שוויון $4=4$ (שני האגפים שווים), ולכן הנקודה $(0,0)$ אכן נמצאת על המעגל — מרחקה מהמרכז $(-2,0)$ שווה בדיוק לרדיוס $2$.
11. $(-1,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-3+1}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(-1,4)$.
12. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(4,4)$.
13. $m=-1$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-1$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-1$.
14. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
15. $m=\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{2}$.