📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. $y=2x-1$ — שיפוע $m=\frac{3-(-1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=-1-(2)\cdot0=-1$. לכן $y=2x-1$.
2. $\frac{3}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|8\cdot1+6\cdot1-20|}{\sqrt{8^2+6^2}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
3. $y=3x-2$ — שיפוע $m=\frac{4-(1)}{2-(1)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot1=-2$. לכן $y=3x-2$.
4. $6$ — $\tan 30^\circ = \frac{a}{6\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$, ולכן המול $= \frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6$.
5. כן — נציב את שיעורי הנקודה $(4,2)$ במשוואת המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=9$: $(4-1)^2+(2-2)^2=3^2+0^2=9+0=9$. מתקבל שוויון $9=9$ (שני האגפים שווים), ולכן הנקודה $(4,2)$ נמצאת על המעגל.
6. לא — נציב $x=2$ במשוואת הישר: $y=2(2)+1=5$. שיעור זה ($5$) שונה משיעור ה-$y$ של הנקודה ($4$) — ולכן הנקודה $(2,4)$ אינה נמצאת על הישר $y=2x+1$.
7. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(4,4)$.
8. $2000$ — $\sin 30^\circ = \frac{1000}{d}$, ולכן $d = \frac{1000}{1/2} = 2000$ מטר.
9. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
10. $5\sqrt{3}$ — הגובה $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$ מטר.
11. $10$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{100}=10$.
12. $8$ — $\cos 60^\circ = \frac{4}{c}=\frac12$, ולכן היתר $= \frac{4}{1/2}=8$.
13. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $90^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$.
14. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
15. $150^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 150^\circ$.