📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. $15$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(9)^2+(12)^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
2. $6$ — $\tan 30^\circ = \frac{a}{6\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$, ולכן המול $= \frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6$.
3. $15^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{12}\cdot\frac{180}{\pi} = 15^\circ$.
4. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
5. $210^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 210^\circ$.
6. $(1,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.
7. $2\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
8. $(-1,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-3+1}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(-1,4)$.
9. $20$ — מציבים $(x_1,y_1)=(0,0)$, $(x_2,y_2)=(8,0)$, $(x_3,y_3)=(0,5)$: $0\cdot(0-5)+8\cdot(5-0)+0\cdot(0-0)=0+40+0=40$. שטח$=\frac{1}{2}\cdot40=20$. (לחילופין: משולש ישר-זווית עם ניצבים על הצירים, בסיס$=8$, גובה$=5$, שטח$=\frac{1}{2}\cdot8\cdot5=20$.)
10. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{11-(2)}{3-(0)} = \frac{9}{3} = 3$.
11. $270^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 270^\circ$.
12. $2000$ — $\sin 30^\circ = \frac{1000}{d}$, ולכן $d = \frac{1000}{1/2} = 2000$ מטר.
13. כן — נציב את שיעורי הנקודה $(4,2)$ במשוואת המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=9$: $(4-1)^2+(2-2)^2=3^2+0^2=9+0=9$. מתקבל שוויון $9=9$ (שני האגפים שווים), ולכן הנקודה $(4,2)$ נמצאת על המעגל.
14. $9$ — $\tan 45^\circ = \frac{9}{b}$, ומכיוון ש-$\tan 45^\circ=1$ הצל הוא $9$ מטר.
15. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(0)}{5-(2)} = \frac{9}{3} = 3$.