📐 גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

מפתח תשובות

1. $\frac{5\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $150^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
2. $135^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi} = 135^\circ$.
3. $m=-2$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=\frac{1}{2}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-2$.
4. $15^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{12}\cdot\frac{180}{\pi} = 15^\circ$.
5. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
6. $(2,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(2,2)$.
7. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$. נציב $x_1=2,y_1=0,\ x_2=6,y_2=0,\ x_3=2,y_3=3$: $=\frac{1}{2}|2\cdot(0-3)+6\cdot(3-0)+2\cdot(0-0)|=\frac{1}{2}|-6+18+0|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
8. $y=3x-5$ — שיפוע $m=\frac{7-(1)}{4-(2)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot2=-5$. לכן $y=3x-5$.
9. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
10. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$. נציב $x_1=0,y_1=0,\ x_2=4,y_2=0,\ x_3=4,y_3=3$: $=\frac{1}{2}|0\cdot(0-3)+4\cdot(3-0)+4\cdot(0-0)|=\frac{1}{2}|0+12+0|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
11. $2$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
12. $4$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(4)^2}=\sqrt{16}=4$.
13. $(5,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נציב במשוואה $y=-x+5$ ונקבל $0=-x+5$, נפתור: $x=5$, ולכן נקודת החיתוך היא $(5,0)$.
14. $\frac{16}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot1+4\cdot2+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{16}{5}=\frac{16}{5}$.
15. $(x-2)^2+(y-2)^2=1$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=2,\ b=2,\ r=1$: $(x-2)^2+(y-2)^2=1$.