גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. (5, 5) — מ-((1+x)/2, (−1+y)/2) = (3, 2) נקבל x = 5, y = 5.
2. 30 סמ² — שטח מקבילית = a·b·sin θ = 6·10·sin 30° = 60·(1/2) = 30 סמ². מסיח 60 — שכחת sin.
3. x = 2 — AB על ציר ה-x (אופקי). הגובה מ-C ניצב → אנכי דרך x = 2.
4. 3 ס"מ — הפרש בסיסים = 4. הגובה ⊥ לבסיסים יוצר עם השוק האלכסונית משולש ישר זווית: h = √(5² − 4²) = 3.
5. x = 1 — הקטע אופקי, אמצע (1, 1). אנך אמצעי אנכי דרך הנקודה: x = 1.
6. 8√3 — האלכסונים במעוין חוצים בניצב. במשולש AOB ישר זווית ב-O עם זווית A = 30° (חצי 60°), AO = 8·cos 30° = 4√3, ולכן AC = 8√3.
7. 10 ס"מ — אלכסונים במקבילית חוצים זה את זה. AC = 2·AM = 10.
8. 12 ו-8 — 2(a+b)=40 ⇒ a+b=20. a−b=4. a=12, b=8.
9. 54 סמ² — שטח מלבן 60, פחות שטח משולש (3·4)/2=6. נשאר 54 סמ².
10. 4√2 ס"מ — יתר = ניצב·√2 ⟸ ניצב = 8/√2 = 4√2 ס"מ.
11. מקבילים — שני הישרים בעלי אותו שיפוע (3) אך n שונה — מקבילים.
12. y = 3x − 1 — מקביל → שיפוע 3. y − 5 = 3(x − 2) ⇒ y = 3x − 1.
13. 84 — יחס דמיון ADE ל-ABC = AD/AB = 4/10 = 2/5. יחס שטחים = (2/5)² = 4/25. שטח ABC = 16·25/4 = 100. שטח טרפז = 100−16 = 84.
14. C(7, 6) — C = B + D − A = (6+2−1, 2+5−1) = (7, 6).
15. ניצבים — השני: 8y = −2x + 5 ⇒ y = −(1/4)x + 5/8. 4·(−1/4) = −1.
16. (4, 3) — אלכסונים נחתכים באמצע. אמצע AC = (4, 3).
17. ריבוע — כל הצלעות = 4, זוויות ישרות → ריבוע.
18. y = −x + 7 — M = (4, 3), m_AB = 1, m_⊥ = −1. y − 3 = −(x − 4) ⇒ y = −x + 7.
19. D(0, 5) — D = A + C − B = (−2+5−3, 1+6−2) = (0, 5).
20. x = 1 — אנך אמצעי, M = (1, 0), AB אופקי → x = 1.
21. 51 סמ² — 60−9=51 סמ².
22. 24 סמ² — שטח = (d₁·d₂)/2 = (6·8)/2 = 24 סמ².
23. 10 + 2√13 — AB = 5, BC = √(4+9) = √13. היקף = 2(5 + √13) = 10 + 2√13.
24. 7.5 ס"מ — שטח קבוע: 10·3 = 4·h ⟸ h = 30/4 = 7.5 ס"מ.
25. שניהם נכונים — משולשים ABD ו-ACD: AB=AC, זוויות BAD=DAC (AD חוצה), AD משותפת. לפי צ.ז.צ חופפים. לכן BD=DC וגם זוויות ADB=ADC, וכיוון שסכומן 180°, כל אחת 90°.