📐 גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. 4√2 — האלכסון יוצר 45-45-90, אורך = צלע·√2 = 4√2.
2. y = −x/3 − 2 — y = mx + n, m = −1/3, n = −2 → y = −x/3 − 2.
3. 42 סמ² — שטח טרפז = ((8+12)/2)·5 = 50. נותר = 50 − 4·2 = 42 סמ².
4. y = −x + 7 — M = (4, 3), m_AB = 1, m_⊥ = −1. y − 3 = −(x − 4) ⇒ y = −x + 7.
5. שווה צלעות — אם זווית הראש 60° וזוויות הבסיס שוות, סכומן 120° → כל אחת 60°. כל הזוויות שוות → שווה צלעות.
6. y = 3x − 2 — m = (7−1)/(3−1) = 3. y − 1 = 3(x − 1) ⇒ y = 3x − 2.
7. 48 סמ² — שטח דלתון = (d₁·d₂)/2 = (12·8)/2 = 48 סמ².
8. מלבן — שיפוע AB=4/2=2, שיפוע BC=−3/6=−1/2, מכפלת השיפועים=2×(−1/2)=−1 ⇒ AB⊥BC, כלומר זווית B ישרה. בדיקת מקבילית: D=A+C−B=(−2+6−0, 0+1−4)=(4,−3), וזה בדיוק D הנתונה ⇒ האלכסונים חוצים זה את זה ⇒ ABCD מקבילית. במקבילית זוויות נגדיות שוות וזוויות סמוכות (על אותה צלע) משלימות זו את זו ל-180°: מכיוון שזווית B ישרה (90°), הזווית הנגדית לה D גם שווה 90°, וכל זווית סמוכה משלימה אותה ל-180° ולכן גם היא שווה 90° — כלומר כל ארבע הזוויות ישרות, ומקבילית שכל זוויותיה ישרות היא מלבן. |AB|=√20=2√5, |BC|=√45=3√5 — אינן שוות, לכן הצלעות הסמוכות אינן שוות וזה אינו ריבוע. התשובה: מלבן.
9. 30° — זוויות הבסיס שוות (75°). זווית A = 180° − 150° = 30°.
10. (8, 4) — C = B + AD = (6, 0) + (2, 4) = (8, 4).
11. 2 — m = (10 − 0)/(5 − 0) = 2.
12. −1/2 — תנאי ניצבות: m₁·m₂ = −1. אם m₁ = 2, אז m₂ = −1/2.
13. 42 סמ² — AD הוא הגובה. שטח = ((10+4)/2)·6 = 7·6 = 42 סמ².
14. מעוין — כאשר כל ארבע הצלעות שוות, הדלתון הוא מעוין (מקרה פרטי).
15. נכון — האלכסונים מאונכים — במעוין כל הצלעות שוות, ולכן AB=AD. משולש ABD שווה שוקיים, ו-AO תיכון ל-BD (האלכסונים חוצים זה את זה במעוין). במשולש שווה שוקיים, התיכון ליסוד הוא גם גובה. לכן AO⊥BD ומשולש ABO ישר זווית ב-O.