גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 4√2 — האלכסון יוצר 45-45-90, אורך = צלע·√2 = 4√2.
2. y = −x/3 − 2 — y = mx + n, m = −1/3, n = −2 → y = −x/3 − 2.
3. 42 סמ² — שטח טרפז = ((8+12)/2)·5 = 50. נותר = 50 − 4·2 = 42 סמ².
4. y = −x + 7 — M = (4, 3), m_AB = 1, m_⊥ = −1. y − 3 = −(x − 4) ⇒ y = −x + 7.
5. שווה צלעות — אם זווית הראש 60° וזוויות הבסיס שוות, סכומן 120° → כל אחת 60°. כל הזוויות שוות → שווה צלעות.
6. y = 3x − 2 — m = (7−1)/(3−1) = 3. y − 1 = 3(x − 1) ⇒ y = 3x − 2.
7. 48 סמ² — שטח דלתון = (d₁·d₂)/2 = (12·8)/2 = 48 סמ².
8. מלבן — שיפוע AB=4/2=2, שיפוע BC=−3/6=−1/2, מכפלה=−1 ⇒ ניצבים. |AB|=√20=2√5, |BC|=√45=3√5 ⇒ לא שוות, אז לא ריבוע. מקבילית (D = A+C−B = 4,−3 ✓). מלבן.
9. 30° — זוויות הבסיס שוות (75°). זווית A = 180° − 150° = 30°.
10. (8, 4) — C = B + AD = (6, 0) + (2, 4) = (8, 4).
11. 2 — m = (10 − 0)/(5 − 0) = 2.
12. −1/2 — תנאי ניצבות: m₁·m₂ = −1. אם m₁ = 2, אז m₂ = −1/2.
13. 42 סמ² — AD הוא הגובה. שטח = ((10+4)/2)·6 = 7·6 = 42 סמ².
14. מעוין — כאשר כל ארבע הצלעות שוות, הדלתון הוא מעוין (מקרה פרטי).
15. נכון — האלכסונים מאונכים — במעוין כל הצלעות שוות, ולכן AB=AD. משולש ABD שווה שוקיים, ו-AO תיכון ל-BD (האלכסונים חוצים זה את זה במעוין). במשולש שווה שוקיים, התיכון ליסוד הוא גם גובה. לכן AO⊥BD ומשולש ABO ישר זווית ב-O.
16. 25 סמ² — צלע = 20/4 = 5 ס"מ. שטח = 5² = 25 סמ². מסיח 100 — שכחת חלוקה לצלע.
17. 48 סמ² — שני משולשים שווי שטח (24 כל אחד). סה"כ 48 סמ².
18. h (משפט ויויאני) — משפט ויויאני: שטח ABC = שטחי שלושת המשולשים PBC+PCA+PAB = (a·h₁+a·h₂+a·h₃)/2 = a(h₁+h₂+h₃)/2. וגם שטח ABC = a·h/2. השוואה: h₁+h₂+h₃ = h.
19. 6 ס"מ — S=((a+b)/2)·h ⇒ 84=14·h ⇒ h=6.
20. 3√3 — הגובה מחלק את הבסיס לחצי. בפיתגורס: h² = 6² − 3² = 27, h = 3√3.
21. D(0, 5) — D = A + C − B = (−2+5−3, 1+6−2) = (0, 5).
22. 1 — ניצב לציר ה-x = אנכי ⇒ מקדם y הוא 0: k − 1 = 0 ⇒ k = 1.
23. (6, 0) — האמצע צריך להיות (3, 0). אם A(0,0), אז B = (6, 0).
24. D(1, −2) — D = A + C − B = (−3+4−0, −1+1−2) = (1, −2).
25. 25/2 — ½|0(4−1)+3(1−0)+7(0−4)| = ½|0+3−28| = ½×25 = 25/2.