⚡ MathHero · www.geekhero.co.il/mathכיתה י׳ · יסודות בגרות · 25 שאלות · ~50 דק'
📐
גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל
25 שאלות שיפוע, משוואת ישר, מקבילים, ניצבים, אנך אמצעי וזיהוי מרובעים.
שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 25
גאומטריה אנליטית של ישר היא נושא חובה בבגרות 4 יח"ל. הדף כולל חישוב שיפוע, משוואת ישר לפי שתי נקודות / נקודה+שיפוע, זיהוי ישרים מקבילים ומאונכים, מרחק בין נקודות, אמצע קטע, אנך אמצעי, וזיהוי סוג מרובע משיעורי קדקודיו. 25 שאלות בסגנון בגרות 471, מתאימות לתרגול שוטף.
מה כלול בדף העבודה הזה?
דף העבודה כולל 25 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מקדש הצורות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-50 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.
איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית
- הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
- פתרו את כל ה-25 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~50 דקות, אך אין לחץ זמן.
- בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
- חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
- כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.
למה הדף הזה עוזר?
דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-25 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.
דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק
- 📐 גיאומטריה — צורות, שטח והיקף לכיתה ג' · 20 שאלות · ~25 דק'
- 📦 שטח ונפח — תרגול מסכם לכיתות ה'-ו' · 25 שאלות · ~40 דק'
- 📐 שטח והיקף — יסודות לכיתה ד' · 25 שאלות · ~35 דק'
- 📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 25 שאלות · ~50 דק'
- 1.במעוין שצלעו 8, אם זווית אחת ישרה, אז הצורה היא:
- 2.מהו השיפוע של הישר 3x − 2y + 8 = 0?
- 3.במשולש שווה שוקיים זווית בסיס 75°. מהי זווית הראש?
- 4.הישר y = (a−2)x + 5 חותך את ציר ה-y בנקודה (0, 5). לאיזה a יש שיפוע 3?
- 5.אנך אמצעי לקטע AB עובר ב-(3, 4). אם A=(1, 4), מהי B?
- 6.מצא k כך ש-2x + ky = 5 יהיה מקביל ל-y = 4x − 2.y = 4x − 2
- 7.צורה מורכבת: מלבן ABCD עם AB=6, BC=4. מחוץ למלבן, על הצלע BC, נבנה משולש ישר זווית BEC עם הניצב BC=4, וניצב נוסף BE=3 הניצב ל-BC (יוצא החוצה מהמלבן). מהו היקף הצורה המורכבת ABECDA?מלבן ABCD ומשולש BEC מחוצה לו, על הצלע BC
- 8.בהוכחה: שתי ישרים נחתכים ב-O ונוצרות זוויות AOB ו-COD. הצעד "זווית AOB = זווית COD" מנומק על ידי:
- 9.במשולש שווה שוקיים ABC (AB=AC), D על BC כך ש-AD חוצה זווית A. הוכח שני דברים: AD⊥BC ו-BD=DC.
- 10.ישר ℓ עובר ב-A(4, 1) וניצב ל-2x + 3y = 6. משוואתו?
- 11.לאיזה k הישר (k+1)x + (k−1)y = 2 ניצב לציר ה-x?
- 12.במשולש ABC, BD ו-CE תיכונים הנפגשים ב-G. הוכח: BG=2·GD.BD, CE תיכונים הנפגשים ב-G
- 13.במשולש שווה צלעות ABC, נקודה P בתוך המשולש. ממנה הורדו אנכים לשלוש הצלעות באורכים h₁, h₂, h₃. ידוע שגובה המשולש h. כמה שווה h₁+h₂+h₃?
- 14.צורה: שני מלבנים שמתחברים בצורת T. מלבן עליון 8×3 ומלבן תחתון 4×6 (מתחת למרכז). מהו השטח הכולל?
- 15.A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(0, 3). איזה מרובע ABCD?
- 16.מצא k כך ש-y = kx + 3 יהיה ניצב ל-y = (2/5)x − 1.
- 17.בטרפז שווה שוקיים ABCD, AB=12 ו-CD=4, גובה 3. מהי שוק?
- 18.במלבן 10×6 הוסרו שני משולשים שווי שוקיים זהים (בסיס 6, גובה 2) מקודקודים נגדיים. מהו השטח שנותר?
- 19.במשולש ישר זווית עם ניצבים 7 ו-24, מהו היתר?
- 20.במעוין ABCD זווית A = 60° וצלע 8. מהו אורך האלכסון AC?
- 21.במשולש 30-60-90, היתר 12. מהי הצלע מול 60°?
- 22.A(0, 0), B(3, 0), C(3, 3), D(0, 3). איזה מרובע?
- 23.מלבן ABCD שצלעותיו 9 ו-12. במלבן הוצב משולש ישר זווית עם ניצבים 9 ו-12. מהו יחס שטח המשולש לשטח המלבן?
- 24.נקודה במרחק שווה מ-A(0, 4) ו-B(0, −4) נמצאת על?
- 25.צורה: מעוין שאלכסוניו 6 ו-8 ובתוכו ריבוע שצלעו 2. מהו שטח המעוין בלי הריבוע?
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math
מפתח תשובות ופתרונות
- ריבוע — מעוין עם זווית ישרה הוא ריבוע (כל הצלעות שוות + זווית 90°).
- 3/2 — −2y = −3x − 8 ⇒ y = (3/2)x + 4. השיפוע 3/2.
- 30° — סכום הזוויות 180°. זווית ראש = 180° − 2·75° = 30°.
- 5 — a − 2 = 3 ⇒ a = 5.
- (5, 4) — האמצע הוא (3, 4), אז B = (2·3 − 1, 2·4 − 4) = (5, 4).
- −1/2 — ky = −2x + 5 ⇒ y = (−2/k)x + 5/k. דרישה: −2/k = 4 ⇒ k = −1/2.
- 24 ס"מ — היתר של המשולש EC = √(BE²+BC²) = √(9+16) = 5. הצלע BC משותפת למלבן ולמשולש ולכן אינה חלק מההיקף החיצוני. ההיקף = AB + BE + EC + CD + DA = 6 + 3 + 5 + 6 + 4 = 24 ס"מ.
- זוויות קודקודיות שוות — כששני ישרים נחתכים, הזוויות בקודקודים הנגדיים (קודקודיות) שוות זו לזו.
- שניהם נכונים — משולשים ABD ו-ACD: AB=AC, זוויות BAD=DAC (AD חוצה), AD משותפת. לפי צ.ז.צ חופפים. לכן BD=DC וגם זוויות ADB=ADC, וכיוון שסכומן 180°, כל אחת 90°.
- y = (3/2)x − 5 — שיפוע הישר −2/3. ניצב: 3/2. y − 1 = (3/2)(x − 4) ⇒ y = (3/2)x − 5.
- 1 — ניצב לציר ה-x = אנכי ⇒ מקדם y הוא 0: k − 1 = 0 ⇒ k = 1.
- משפט נקודת המפגש של התיכונים — נקודת המפגש של התיכונים (המרכז) מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 כאשר החלק הגדול מהקודקוד. ההוכחה: דרך נקודות אמצע משולש קטן דומה ביחס 1:2, ומכאן יחס החלקים על התיכון.
- h (משפט ויויאני) — משפט ויויאני: שטח ABC = שטחי שלושת המשולשים PBC+PCA+PAB = (a·h₁+a·h₂+a·h₃)/2 = a(h₁+h₂+h₃)/2. וגם שטח ABC = a·h/2. השוואה: h₁+h₂+h₃ = h.
- 48 סמ² — 24+24=48 סמ². אין חפיפה ביניהם.
- מלבן — צלעות מקבילות לצירים, זוויות ישרות. AB=4, BC=3 → לא ריבוע. אלכסונים שווים = מלבן.
- −5/2 — k · (2/5) = −1 ⇒ k = −5/2.
- 5 ס"מ — חצי ההבדל בין הבסיסים = (12−4)/2 = 4. שוק = √(9+16)=5.
- 48 סמ² — שטח מלבן = 60. שטח כל משולש = (6·2)/2 = 6. שטח שנותר = 60 − 2·6 = 48 סמ².
- 25 — לפי משפט פיתגורס: $c^2 = a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$, לכן $c = \sqrt{625} = 25$ (משפחת פיתגורס 7-24-25).
- 8√3 — האלכסונים במעוין חוצים בניצב. במשולש AOB ישר זווית ב-O עם זווית A = 30° (חצי 60°), AO = 8·cos 30° = 4√3, ולכן AC = 8√3.
- 6√3 — צלע מול 60° = יתר·sin 60° = 12·√3/2 = 6√3.
- ריבוע — כל הצלעות שוות 3, זוויות ישרות → ריבוע.
- 1:2 — שטח מלבן 108, שטח משולש 54. יחס 54:108 = 1:2.
- ציר ה-x — AB על ציר y, אמצע (0, 0). אנך אמצעי אופקי → y = 0 = ציר x.
- 20 סמ² — שטח מעוין=(6·8)/2=24. שטח ריבוע=4. 24−4=20.