גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

25 שאלות שיפוע, משוואת ישר, מקבילים, ניצבים, אנך אמצעי וזיהוי מרובעים.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 25

גאומטריה אנליטית של ישר היא נושא חובה בבגרות 4 יח"ל. הדף כולל חישוב שיפוע, משוואת ישר לפי שתי נקודות / נקודה+שיפוע, זיהוי ישרים מקבילים ומאונכים, מרחק בין נקודות, אמצע קטע, אנך אמצעי, וזיהוי סוג מרובע משיעורי קדקודיו. 25 שאלות בסגנון בגרות 471, מתאימות לתרגול שוטף.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 25 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מקדש הצורות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-50 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-25 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~50 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-25 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 גיאומטריה — צורות, שטח והיקף לכיתה ג' · 20 שאלות · ~25 דק'
📦 שטח ונפח — תרגול מסכם לכיתות ה'-ו' · 25 שאלות · ~40 דק'
📐 שטח והיקף — יסודות לכיתה ד' · 25 שאלות · ~35 דק'
📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 25 שאלות · ~50 דק'

1.במשולש שווה שוקיים זווית בסיס 75°. מהי זווית הראש?
(א)105°
(ב)75°
(ג)30°✓
(ד)150°
2.בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. איזו טענה נוספת תמיד נכונה?
טרפז שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות
(א)האלכסונים ניצבים
(ב)האלכסונים שווים✓
(ג)השוקיים מקבילות
(ד)כל הצלעות שוות
3.מלבן ABCD שצלעותיו 9 ו-12. במלבן הוצב משולש ישר זווית עם ניצבים 9 ו-12. מהו יחס שטח המשולש לשטח המלבן?
(א)1:2✓
(ב)1:3
(ג)2:3
(ד)1:4
4.בטרפז שווה שוקיים ABCD, AB=14 בסיס תחתון, CD=6 בסיס עליון, שוק 5. מהו הגובה?
(א)√11 ס"מ
(ב)5 ס"מ
(ג)3 ס"מ✓
(ד)4 ס"מ
5.במעוין ABCD: A(0, 0), B(3, 4), C(8, 4). מצא את D.
(א)D(−5, 0)
(ב)D(5, 8)
(ג)D(5, 0)✓
(ד)D(11, 0)
6.ABCD: A(0, 0), B(6, 0), C(8, 3), D(2, 3). זהה.
(א)מעוין
(ב)מלבן
(ג)טרפז שווה־שוקיים
(ד)מקבילית בלבד✓
7.נקודה במרחק שווה מ-A(0, 4) ו-B(0, −4) נמצאת על?
(א)y = 4
(ב)y = x
(ג)ציר ה-y
(ד)ציר ה-x✓
8.בטרפז ש"ש שזוויות הבסיס שלו 60° ו-AB=10, CD=4, מהי השוק?
טרפז שווה שוקיים, זוויות הבסיס 60°
(א)12 ס"מ
(ב)6 ס"מ✓
(ג)3 ס"מ
(ד)√21 ס"מ
9.בטרפז שווה שוקיים זווית בסיס 70°. מהי זווית הראש?
טרפז שווה שוקיים AB ∥ DC
(א)20°
(ב)70°
(ג)110°✓
(ד)100°
10.במקבילית ABCD: A(−3, −1), B(0, 2), C(4, 1). מצא את D.
(א)D(1, −2)✓
(ב)D(1, 4)
(ג)D(−7, −2)
(ד)D(7, −2)
11.מהו המרחק מהנקודה (−2, 5) לציר ה-y?
(א)5
(ב)2✓
(ג)−2
(ד)√29
12.במשולש שווה צלעות בעל צלע a, מהו אורך הגובה?
(א)a√2/2
(ב)a/2
(ג)a√3/2✓
(ד)a√3
13.מהו שיפוע הישר העובר ב-A(−3, 2) ו-B(5, −6)?
(א)−4
(ב)−1/2
(ג)−1✓
(ד)1
14.מהי משוואת הישר העובר ב-A(2, −1) ובעל שיפוע 3?
(א)y = 3x − 1
(ב)y = 3x + 7
(ג)y = 3x + 5
(ד)y = 3x − 7✓
15.במקבילית ABCD, M נקודת חיתוך האלכסונים. AM=6, BM=4. מהו סכום האלכסונים?
(א)24 ס"מ
(ב)10 ס"מ
(ג)12 ס"מ
(ד)20 ס"מ✓
16.מצא נקודת חיתוך של 2x − y = 4 ו-x + y = 5.
(א)(1, 4)
(ב)(3, −2)
(ג)(2, 3)
(ד)(3, 2)✓
17.במלבן צלעות באורך 6 ס"מ ו-8 ס"מ. מהו אורך האלכסון?
(א)48 ס"מ
(ב)2√7 ס"מ
(ג)10 ס"מ✓
(ד)14 ס"מ
18.בדלתון ABCD נתון AB = AD = 6 ו-CB = CD = 8. האלכסון BD = 9.6. מהו אורך האלכסון AC?
(א)14 ס"מ
(ב)3.6 + 6.4 ס"מ✓
(ג)10 ס"מ
(ד)11 ס"מ
19.במלבן ABCD, AB=12, BC=5. האלכסון AC ואלכסון BD נחתכים ב-O. מה היחס בין שטח משולש AOB לשטח המלבן?
(א)1/4✓
(ב)1/6
(ג)1/3
(ד)1/2
20.ABCD: A(1, 1), B(4, 1), C(4, 4), D(1, 4). זהה.
(א)מקבילית בלבד
(ב)ריבוע✓
(ג)מלבן בלבד
(ד)מעוין בלבד
21.במלבן ABCD, AB=20, BC=12. M אמצע AB. מהו שטח המשולש DMC?
מלבן ABCD, M אמצע AB, המשולש DMC מסומן
(א)240 סמ²
(ב)120 סמ²✓
(ג)100 סמ²
(ד)60 סמ²
22.מהו היקף משולש ישר זווית שווה שוקיים שניצביו 3 ס"מ?
(א)3 + 3√2 ס"מ
(ב)9 ס"מ
(ג)6 + 3√2 ס"מ✓
(ד)6 + 9 ס"מ
23.מהי משוואת אנך האמצעי לקטע A(0, 0), B(4, 6)?
(א)y = (2/3)x
(ב)y = (3/2)x − 3
(ג)y = −(2/3)x + 3
(ד)y = −(2/3)x + 13/3✓
24.ריבוע ABCD צלע 10. בתוכו מעוין PQRS שקדקודיו אמצעי צלעות הריבוע. מהו שטח המעוין?
(א)100 סמ²
(ב)75 סמ²
(ג)50 סמ²✓
(ד)25 סמ²
25.A(0, 0), B(4, 3), C(9, 3), D(5, 0). איזה מרובע?
(א)מלבן
(ב)טרפז בלבד
(ג)מעוין✓
(ד)ריבוע

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · www.geekhero.co.il/math

מפתח תשובות ופתרונות

30° — סכום הזוויות 180°. זווית ראש = 180° − 2·75° = 30°.
האלכסונים שווים — בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. הם לא בהכרח ניצבים. השוקיים אינן מקבילות (אחרת זו מקבילית).
1:2 — שטח מלבן 108, שטח משולש 54. יחס 54:108 = 1:2.
3 ס"מ — הבדל בסיסים 14−6=8, חצי=4. גובה = √(25−16) = 3.
D(5, 0) — מעוין הוא מקבילית. D = A + C − B = (0+8−3, 0+4−4) = (5, 0). בדיקה: |AB|=5, |AD|=5. ✓
מקבילית בלבד — AB ∥ DC (אופקיים, אורך 6). AD מ-(0,0) ל-(2,3): שיפוע 3/2; BC מ-(6,0) ל-(8,3): שיפוע 3/2. מקבילית. |AB|=6, |AD|=√13 ⇒ לא מעוין. שיפועי צלעות לא ניצבים ⇒ לא מלבן.
ציר ה-x — AB על ציר y, אמצע (0, 0). אנך אמצעי אופקי → y = 0 = ציר x.
6 ס"מ — חצי הפרש=3. cos60°=3/שוק ⇒ שוק=3/(1/2)=6.
110° — השוקיים מקבילות לקווים בין שני בסיסים מקבילים. זוויות באותה שוק משלימות: 180° − 70° = 110°.
D(1, −2) — D = A + C − B = (−3+4−0, −1+1−2) = (1, −2).
2 — מרחק לציר y = |x| = |−2| = 2.
a√3/2 — הגובה יוצר משולש 30-60-90 עם יתר a וניצב a/2. גובה = √(a² − a²/4) = a√3/2.
−1 — m = (−6 − 2)/(5 − (−3)) = −8/8 = −1.
y = 3x − 7 — y − (−1) = 3(x − 2) ⇒ y = 3x − 6 − 1 = 3x − 7.
20 ס"מ — AC=12, BD=8. סה"כ 20 ס"מ.
(3, 2) — חיבור: 3x = 9 ⇒ x = 3. y = 5−3 = 2.
10 ס"מ — האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית. d = √(6² + 8²) = √100 = 10. מסיח 14 — סכום הצלעות בלי ריבוע.
3.6 + 6.4 ס"מ — האלכסון BD ניצב ל-AC ונחצה ע"י AC. BO = 4.8. AO = √(6²−4.8²) = √12.96 = 3.6. OC = √(8²−4.8²) = √40.96 = 6.4. AC = 3.6 + 6.4 = 10 ס"מ.
1/4 — שני האלכסונים מחלקים את המלבן לארבעה משולשים בעלי שטחים שווים (כל אחד עם אותו בסיס וגובה ביחס למלבן). לכן שטח כל משולש = רבע משטח המלבן.
ריבוע — כל הצלעות 3, זוויות ישרות, אלכסונים שווים ובאורך 3√2. ריבוע.
120 סמ² — בסיס DC=20, גובה מ-M ל-DC = BC = 12. שטח = (20·12)/2 = 120 סמ².
6 + 3√2 ס"מ — יתר = 3√2. היקף = 3 + 3 + 3√2 = 6 + 3√2 ס"מ.
y = −(2/3)x + 13/3 — M = (2, 3), m_AB = 3/2, m_⊥ = −2/3. y − 3 = −(2/3)(x − 2) ⇒ y = −(2/3)x + 4/3 + 3 = −(2/3)x + 13/3.
50 סמ² — המעוין הוא ריבוע (סימטריה) ששטחו חצי משטח הריבוע. 100/2=50.
מעוין — כל הצלעות = 5, אך אלכסונים לא שווים → מעוין (לא ריבוע).