גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. y = −x + 7 — M = (3, 4). m_AB = 1. m_perp = −1. y − 4 = −(x − 3) ⇒ y = −x + 7.
2. x=5 — שטח APD = (AP·AD)/2 = (x·6)/2 = 3x. שטח PBC = 3(10−x). השוואה: 3x = 3(10−x) ⇒ 2x=10 ⇒ x=5.
3. 124 סמ² — 140−16=124 סמ².
4. 2π∫f(x)√(1+f'(x)²)dx — SA=2π∫f(x)√(1+f'(x)²)dx (שטח משטח סיבוב).
5. 54 סמ² — המשולש BEC: בסיס BC=9, גובה מ-E ל-BC = AB = 12. שטח = (9·12)/2 = 54.
6. 10 — במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה לחצי היתר. אם התיכון = 5, אז BC = 10.
7. (3, 3) — אנך אמצעי AB: x=3. חיתוך עם y=x: (3, 3).
8. x = 2 — M = (2, 0). הקטע אופקי, אז אנך אמצעי אנכי דרך x=2.
9. 22 ס"מ — צלעות נגדיות שוות. היקף = 2(4 + 7) = 22 ס"מ.
10. √2 — c² = 1² + 1² = 2, לכן c = √2 (ערך מדויק).
11. −1/4 — ניצבים: m₁·m₂ = −1. k · 4 = −1 ⇒ k = −1/4.
12. 6 ס"מ — S=((a+b)/2)·h ⇒ 84=14·h ⇒ h=6.
13. y = x/2 − 2 — m = (−2 − 0)/(0 − 4) = 1/2. n = −2 → y = x/2 − 2.
14. 35 סמ² — שטח דלתון = (d₁·d₂)/2 = (7·10)/2 = 35 סמ². מסיח 70 — שכחת חלוקה ב-2.
15. 10 + 2√13 — AB = 5, BC = √(4+9) = √13. היקף = 2(5 + √13) = 10 + 2√13.
16. 54 סמ² — שטח מלבן 60, פחות שטח משולש (3·4)/2=6. נשאר 54 סמ².
17. 2/3 — מבדדים y: 3y = 2x + 6 ⇒ y = (2/3)x + 2. השיפוע 2/3.
18. (6, 0) — האמצע צריך להיות (3, 0). אם A(0,0), אז B = (6, 0).
19. (3, 3/2) — M = ((0+6)/2, (0+3)/2) = (3, 3/2).
20. AC=8, BD=6 — במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, לכן AC = 2·AO = 8, BD = 2·BO = 6.
21. 10 ס"מ — בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. BD=AC=10.
22. 24 ס"מ — היתר של המשולש EC = √(BE²+BC²) = √(9+16) = 5. הצלע BC משותפת למלבן ולמשולש ולכן אינה חלק מההיקף החיצוני. ההיקף = AB + BE + EC + CD + DA = 6 + 3 + 5 + 6 + 4 = 24 ס"מ.
23. כן, בנקודה (2, 5) — 2x + 1 = −x + 7 ⇒ x = 2, y = 5. בדיקה: y = x + 3 ⇒ 5 = 2 + 3 ✓.
24. ריבוע — ארבע צלעות שוות באורך 2, ארבע זוויות ישרות ⇒ ריבוע.
25. מקבילית בלבד — AB ∥ DC (שניהם אופקיים, אורך 5), AD ∥ BC (שיפוע 4). |AB|=5, |AD|=√17 ⇒ לא מעוין. שיפוע AB=0, BC=4 ⇒ לא ניצבים ⇒ לא מלבן.