גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. 10 — c² = 36 + 64 = 100, ולכן c = 10. זה משולש 6-8-10 (כפולה של 3-4-5).
2. (5, 4) — האמצע הוא (3, 4), אז B = (2·3 − 1, 2·4 − 4) = (5, 4).
3. 3 — הצבת (2, 8) במשוואה: 8 = 2m + 2 ⇒ 2m = 6 ⇒ m = 3.
4. אלכסוני מעוין ניצבים — במעוין האלכסונים ניצבים זה לזה (תכונה ייחודית); במלבן הם אינם בהכרח ניצבים.
5. 3 — 10 = 2m + 4 ⇒ 2m = 6 ⇒ m = 3.
6. C(8, 2) — C = B + D − A = (4+5−1, 5+(−2)−1) = (8, 2). בדיקה: |AB|=5, |AD|=5 ✓.
7. 2√13 — |AC| = √(36 + 16) = √52 = 2√13.
8. 1 — ישר אופקי y = 3. מרחק = |2 − 3| = 1.
9. 4 — המשולשים AOB ו-COD דומים ביחס AB:CD = 8:4 = 2:1. הגובה הכולל של הטרפז 6 מתחלק בין שני הגבהים ביחס 2:1. גובה משולש COD = 6·1/(2+1) = 2. שטח COD = (CD·גובה)/2 = (4·2)/2 = 4.
10. 96−4√3 סמ² — שטח מלבן=96. שטח משולש שווה צלעות צלע 4 = (16√3)/4 = 4√3. נשאר 96−4√3.
11. 10 — יחס 1:√3:2. אם הקצרה = 5, היתר = 10.
12. 6√3 ס"מ — במשולש ABD: AB=AD=6, זווית A=120°. לפי משפט הקוסינוסים: BD²=36+36−72cos120°=72+36=108. BD=√108=6√3.
13. 60° — כל הצלעות שוות (10) — משולש שווה צלעות. לכן כל הזוויות 60°.
14. (2, 0) ו-(−2, 0) — y = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2.
15. ±10 — |k|/5 = 2 ⇒ |k| = 10 ⇒ k = ±10.
16. נכון תמיד (משפט הקודקודים המנוגדים) — שים את המלבן בקואורדינטות A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b), P(x,y). PA²+PC² = x²+y² + (x-a)²+(y-b)². PB²+PD² = (x-a)²+y² + x²+(y-b)². שני הביטויים זהים אחרי פתיחה.
17. 42 סמ² — בסיס DC=14, גובה מ-P ל-DC = BC = 6. שטח = (14·6)/2 = 42 סמ².
18. y = (1/2)x + 1/2 — שיפוע BC = (6−0)/(2−5) = −2. גובה: 1/2. y − 0 = (1/2)(x+1) ⇒ y = x/2 + 1/2.
19. 57 — שטח טרפז = ((14+8)·6)/2 = 66. 66−9=57.
20. 48 סמ² — שטח = 10·6 − 4·3 = 60 − 12 = 48 סמ².
21. 10 ס"מ — קו האמצעים של טרפז = ממוצע הבסיסים = (7+13)/2 = 10 ס"מ.
22. 8 — הקטע אנכי (אותו x). המרחק = |5 − (−3)| = 8.
23. 22 ס"מ — צלעות נגדיות שוות. היקף = 2(4 + 7) = 22 ס"מ.
24. 12 — b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, ולכן b = 12. זה משולש 5-12-13.
25. מעוין — |AB|=5, |BC|=5, |CD|=5, |DA|=5 — כל הצלעות שוות. AB לא ניצב ל-BC ⇒ לא ריבוע ⇒ מעוין.