גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. (2, 0) ו-(0, −6) — y = 0: x = 2 ⇒ (2, 0). x = 0: y = −6 ⇒ (0, −6).
2. (2, 3) — y = k(x−2) + 3. ל-x=2: y=3 לכל k. הנקודה (2, 3).
3. 24 ס"מ — חצי אלכסון אחד=5. חצי השני=√(169−25)=12. השני = 24.
4. y = 3x + 2 — שיפוע = 3. y − 5 = 3(x − 1) ⇒ y = 3x + 2.
5. 20 סמ² — שטח מעוין=(6·8)/2=24. שטח ריבוע=4. 24−4=20.
6. A(1, 5) — A + C = B + D ⇒ A = B + D − C = (2+5−6, 1+7−3) = (1, 5).
7. C(7, 6) — C = B + D − A = (6+2−1, 2+5−1) = (7, 6).
8. 60° — מעוין הוא מקבילית, לכן זוויות סמוכות משלימות: 180° − 120° = 60°.
9. 6 ס"מ — 84 = ((18+10)/2)·h = 14h ⇒ h=6.
10. (4, 3) — אלכסונים נחתכים באמצע. אמצע AC = (4, 3).
11. האלכסונים של AECF חוצים זה את זה — האלכסונים של AECF הם AC ו-EF. במקבילית ABCD, אמצע AC = אמצע BD = O. כיוון ש-BE=DF, אמצע EF גם הוא O. שני אלכסונים החוצים זה את זה — סימן מקבילית.
12. 15 — פיתגורס: c² = 81 + 144 = 225. c = 15 (כפל של 3-4-5).
13. אלכסונים לא שווים — תנאי הכרחי למלבן: אלכסונים שווים. כאן 10≠14, ולכן לא מלבן.
14. האלכסונים שווים — בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. הם לא בהכרח ניצבים. השוקיים אינן מקבילות (אחרת זו מקבילית).
15. −1 — m = (−6 − 2)/(5 − (−3)) = −8/8 = −1.
16. (6, 0) — האמצע צריך להיות (3, 0). אם A(0,0), אז B = (6, 0).
17. 11 ס"מ — קטע אמצעים בטרפז = ממוצע בסיסים = (14+8)/2 = 11 ס"מ.
18. 1 — ישר אופקי y = 3. מרחק = |2 − 3| = 1.
19. 5 — לפי משפט פיתגורס: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, ולכן c = 5.
20. משפט נקודת המפגש של התיכונים — נקודת המפגש של התיכונים (המרכז) מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 כאשר החלק הגדול מהקודקוד. ההוכחה: דרך נקודות אמצע משולש קטן דומה ביחס 1:2, ומכאן יחס החלקים על התיכון.
21. 4 — d = |12 + 3 + 5|/√(16+9) = 20/5 = 4.
22. 5 — a − 2 = 3 ⇒ a = 5.
23. 12 — בסיס AB = 4 (אופקי), גובה = |8 − 2| = 6. שטח = ½·4·6 = 12.
24. מקבילית בלבד — AB ∥ DC ו-AD ∥ BC ⇒ מקבילית. |AC|≠|BD| ⇒ לא מלבן. שיפועי האלכסונים לא במכפלה −1 ⇒ לא מעוין.
25. y = (2/3)x + 17/3 — מסדרים: y = −(3/2)x + 2. m_perp = 2/3. y − 7 = (2/3)(x − 2) ⇒ y = (2/3)x + 17/3.