גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. (3, 0) — אנך אמצעי: x = 3. חיתוך עם y=0 → (3, 0).
2. (6, 0) — האמצע צריך להיות (3, 0). אם A(0,0), אז B = (6, 0).
3. x = 2 — AB על ציר ה-x (אופקי). הגובה מ-C ניצב → אנכי דרך x = 2.
4. y = −3 — שיפוע 0 → ישר אופקי דרך y = −3.
5. 2√5 — 2x − y + 3 = 0. נקודה (0, −7). d = |0 + 7 + 3|/√5 = 10/√5 = 2√5.
6. √208 ס"מ — במקבילית: AC²+BD² = 2(AB²+BC²). AC² = 2(100+36)−64 = 272−64 = 208. AC=√208.
7. ריבוע — כל הצלעות 3, זוויות ישרות, אלכסונים שווים ובאורך 3√2. ריבוע.
8. 6 + 3√2 ס"מ — יתר = 3√2. היקף = 3 + 3 + 3√2 = 6 + 3√2 ס"מ.
9. נכון — האלכסונים מאונכים — במעוין כל הצלעות שוות, ולכן AB=AD. משולש ABD שווה שוקיים, ו-AO תיכון ל-BD (האלכסונים חוצים זה את זה במעוין). במשולש שווה שוקיים, התיכון ליסוד הוא גם גובה. לכן AO⊥BD ומשולש ABO ישר זווית ב-O.
10. y = −(2/3)x + 3 — M = (3, 1). שיפוע AB = 6/4 = 3/2. שיפוע אנך = −2/3. y−1 = −(2/3)(x−3) ⇒ y = −(2/3)x + 3.
11. מעוין — |AB|=5, |BC|=5, |CD|=5, |DA|=5 — כל הצלעות שוות. AB לא ניצב ל-BC ⇒ לא ריבוע ⇒ מעוין.
12. 20 סמ² — שטח מעוין=(6·8)/2=24. שטח ריבוע=4. 24−4=20.
13. 2 — m = (10 − 0)/(5 − 0) = 2.
14. y = (3/2)x − 13/2 — M = (5, 1). m_AB = −2/3. m_perp = 3/2. y − 1 = (3/2)(x − 5) ⇒ y = (3/2)x − 13/2.
15. 20 — ½|(−1)(6−(−2))+3(−2−2)+5(2−6)| = ½|−8−12−20| = ½×40 = 20.
16. 3√3 ס"מ — h = AD·sin A = 6·sin 60° = 6·(√3/2) = 3√3 ס"מ.
17. 75 סמ² — שטח מלבן = 12·5 = 60. שטח משולש BCE = (5·6)/2 = 15. סה"כ 75 סמ².
18. (2, 0) ו-(0, −6) — y = 0: x = 2 ⇒ (2, 0). x = 0: y = −6 ⇒ (0, −6).
19. 5 — פיתגורס: BC² = AB² − AC² = 169 − 144 = 25. BC = 5.
20. y = −x + 7 — M = (4, 3), m_AB = 1, m_⊥ = −1. y − 3 = −(x − 4) ⇒ y = −x + 7.
21. 5√2 ס"מ — יתר = √(5² + 5²) = √50 = 5√2 ס"מ. יחס צלעות 1:1:√2.
22. x = 1 — M = (1, 3). הקטע אופקי, אנך אמצעי אנכי: x = 1.
23. צלעות נגדיות במקבילית שוות — תכונה יסודית של מקבילית: צלעות נגדיות שוות באורכן. "נראה מהשרטוט" אינו נימוק תקף.
24. y = (1/2)x − 3 — n = −3 (חיתוך עם ציר y). y = (1/2)x − 3.
25. 42 סמ² — שטח טרפז יחיד = ((10+4)/2)·3 = 21. שניים = 42.