15 שאלות sin/cos/tan, זוויות 30°/45°/60°, זהויות יסוד וצורות משולבות.

📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י׳ · יסודות בגרות · 15 שאלות · ~35 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה במשולש ישר זווית — אבן יסוד של גאומטריה בבגרות 4 יח"ל. הדף כולל הגדרות sin/cos/tan לפי יחסי צלעות, ערכים מדויקים בזוויות 30°/45°/60° (√3/2, √2/2 — לא קירוב עשרוני), זהות sin²+cos²=1, פיתגורס בצורות מורכבות, ודמיון משולשים. 15 שאלות מודרגות לתרגול לפני מבחן.

1.במקבילית ABCD נתונים A(1, 1), B(5, 2), C(6, 5). מהי D?
(א)(2, 4)✓
(ב)(0, 4)
(ג)(10, 6)
(ד)(2, 6)
2.בריבוע ABCD שצלעו 8 ס"מ, M אמצע BC, N אמצע CD. מהו שטח הדלתון AMCN?
(א)32 סמ²✓
(ב)24 סמ²
(ג)16 סמ²
(ד)20 סמ²
3.מהו המרחק מ-(2, 3) לישר y = x?
(א)1
(ב)√2/2✓
(ג)2
(ד)√2
4.בריבוע ABCD, E על BC ו-F על CD כך ש-BE=CF. הוכח ש-AE⊥BF.
ריבוע ABCD, BE=CF
(א)מתבסס על חפיפת משולשים ABE ו-BCF✓
(ב)הוכחה לא אפשרית
(ג)מספיק להוכיח BE=CF
(ד)תלוי באורך BE
5.מהו היקף מעוין שצלעו 9 ס"מ?
(א)18 ס"מ
(ב)81 ס"מ
(ג)36 ס"מ✓
(ד)27 ס"מ
6.מה הנוסחה האינטגרלית לשטח משטח סיבוב y=f(x) סביב ציר x?
(א)π∫f(x)²dx
(ב)∫f(x)√(1+f'²)dx
(ג)2π∫f(x)√(1+f'(x)²)dx✓
(ד)2π∫f(x)dx
7.במשולש 30-60-90 הצלע מול 60° אורכה 6√3. מהו אורך היתר?
(א)6
(ב)12√3
(ג)18
(ד)12✓
8.במשולש שווה צלעות בעל צלע 6, מהו אורך הגובה?
(א)3
(ב)6√3
(ג)3√3✓
(ד)3√2
9.באלו נקודות חותך y = 3x − 6 את הצירים?
y = 3x − 6
(א)(2, 0) ו-(0, −6)✓
(ב)(0, 2) ו-(−6, 0)
(ג)(−2, 0) ו-(0, 6)
(ד)(2, 0) ו-(0, 6)
10.עבור איזה k הישרים y = (k+1)x − 2 ו-y = 3x + 7 מקבילים?
(א)−1/3
(ב)2✓
(ג)3
(ד)−2
11.במקבילית ABCD זווית A=70°. מהי זווית B?
(א)110°✓
(ב)20°
(ג)90°
(ד)70°
12.מהי הנקודה במרחק שווה מ-A(0, 0) ומ-B(6, 0) ועל ציר ה-y?
(א)(3, 0) — לא על ציר ה-y
(ב)(0, 0)
(ג)כל נקודה בציר ה-y
(ד)אין נקודה כזו✓
13.במלבן 10×6 הוסרו שני משולשים שווי שוקיים זהים (בסיס 6, גובה 2) מקודקודים נגדיים. מהו השטח שנותר?
(א)54 סמ²
(ב)60 סמ²
(ג)48 סמ²✓
(ד)36 סמ²
14.נתון מרובע ABCD: A(0, 0), B(5, 0), C(8, 4), D(3, 4). זהה את המרובע.
(א)מעוין✓
(ב)מלבן
(ג)מקבילית בלבד (לא מעוין)
(ד)ריבוע
15.מהו השיפוע של הישר 2x − 3y + 6 = 0?
(א)3/2
(ב)−3/2
(ג)2/3✓
(ד)−2/3

מפתח תשובות

(2, 4) — במקבילית: אמצע AC = אמצע BD. אמצע AC = (3.5, 3). אז D = 2·(3.5,3) − (5,2) = (2, 4).
32 סמ² — שטח הריבוע = 8·8 = 64. הדלתון AMCN מוגדר על-ידי A=(0,0), M=(8,4), C=(8,8), N=(4,8). הצלעות MC ו-CN חופפות לצלעות הריבוע, לכן האזור שמחוץ לדלתון בתוך הריבוע הוא שני משולשים בלבד: משולש ABM עם בסיס AB=8 וגובה AM_y=4, שטח=16; ומשולש ADN עם בסיס AD=8 וגובה AN_x=4, שטח=16. שטח הדלתון AMCN = 64 − 16 − 16 = 32 סמ². אימות בנוסחת שרוכות: ½|0·4−8·0 + 8·8−8·4 + 8·8−4·8 + 4·0−0·8| = ½·64 = 32.
√2/2 — x − y = 0. d = |2 − 3|/√2 = 1/√2 = √2/2.
מתבסס על חפיפת משולשים ABE ו-BCF — במשולשים ABE ו-BCF: AB=BC (צלעות ריבוע), BE=CF (נתון), זוויות ABE=BCF=90°. לפי צ.ז.צ חופפים. לכן זוויות BAE=CBF. במשולש ABG (G נקודת חיתוך): זוויות BAE+ABG = CBF+ABG = ABC = 90°, ולכן זווית AGB = 90°.
36 ס"מ — במעוין כל הצלעות שוות. היקף = 4·9 = 36 ס"מ.
2π∫f(x)√(1+f'(x)²)dx — SA=2π∫f(x)√(1+f'(x)²)dx (שטח משטח סיבוב).
12 — הצלע מול 60° = √3 · (הצלע מול 30°). אז מול 30° = 6, ויתר = 12.
3√3 — הגובה מחלק את הבסיס לחצי. בפיתגורס: h² = 6² − 3² = 27, h = 3√3.
(2, 0) ו-(0, −6) — ציר x: y=0 ⇒ x=2. ציר y: x=0 ⇒ y=−6.
2 — מקבילים: k + 1 = 3 ⇒ k = 2.
110° — זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל-180°. 180−70 = 110°.
אין נקודה כזו — אנך אמצעי הוא x = 3, ואינו חותך את ציר ה-y, לכן אין נקודה במרחק שווה על ציר ה-y.
48 סמ² — שטח מלבן = 60. שטח כל משולש = (6·2)/2 = 6. שטח שנותר = 60 − 2·6 = 48 סמ².
מעוין — |AB| = 5, |BC| = √(9+16) = 5, |CD| = 5, |DA| = √(9+16) = 5. כל ארבע הצלעות שוות ⇒ מעוין. שיפועי AB = 0 ו-BC = 4/3, מכפלתם ≠ −1 ⇒ אינו ריבוע.
2/3 — מבדדים y: 3y = 2x + 6 ⇒ y = (2/3)x + 2. השיפוע 2/3.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מקדש הצורות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-35 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~35 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 גיאומטריה — צורות, שטח והיקף לכיתה ג' · 15 שאלות · ~20 דק'
📦 שטח ונפח — תרגול מסכם לכיתות ה'-ו' · 15 שאלות · ~25 דק'
📐 שטח והיקף — יסודות לכיתה ד' · 15 שאלות · ~20 דק'
📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 15 שאלות · ~30 דק'