📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. 50 סמ² — המעוין הוא ריבוע (סימטריה) ששטחו חצי משטח הריבוע. 100/2=50.
2. 2/√5 — d = |2 + 1 − 5|/√(4+1) = 2/√5.
3. 1 — k = 3·2 − 5 = 1.
4. מעוין — כל הצלעות = 5, אך אלכסונים לא שווים → מעוין (לא ריבוע).
5. 18 סמ² — הדלתון AMCN בנוי מהריבוע פחות שני משולשים: MBC עם בסיס MB=3 וגובה BC=6, שטח=9. NDC עם בסיס ND=3 וגובה DC=6, שטח=9. שטח הדלתון = 36 − 9 − 9 = 18 סמ².
6. נכון — האלכסונים מאונכים — במעוין כל הצלעות שוות, ולכן AB=AD. משולש ABD שווה שוקיים, ו-AO תיכון ל-BD (האלכסונים חוצים זה את זה במעוין). במשולש שווה שוקיים, התיכון ליסוד הוא גם גובה. לכן AO⊥BD ומשולש ABO ישר זווית ב-O.
7. y = −(1/2)x + 5 — M = (2, 4). m_AB = 2. m_perp = −1/2. y − 4 = −(1/2)(x − 2) ⇒ y = −(1/2)x + 5.
8. 25 — |AB| = √(9 + 16) = 5. שטח ריבוע = 5² = 25.
9. 10 ס"מ — S = (d₁·d₂)/2 ⟸ 50 = (10·d₂)/2 ⟸ d₂ = 10 ס"מ.
10. h (משפט ויויאני) — משפט ויויאני: שטח ABC = שטחי שלושת המשולשים PBC+PCA+PAB = (a·h₁+a·h₂+a·h₃)/2 = a(h₁+h₂+h₃)/2. וגם שטח ABC = a·h/2. השוואה: h₁+h₂+h₃ = h.
11. כן, בנקודה (2, 5) — 2x + 1 = −x + 7 ⇒ x = 2, y = 5. בדיקה: y = x + 3 ⇒ 5 = 2 + 3 ✓.
12. 60° — כל הצלעות שוות (10) — משולש שווה צלעות. לכן כל הזוויות 60°.
13. אין נקודה כזו — אנך אמצעי הוא x = 3, ואינו חותך את ציר ה-y, לכן אין נקודה במרחק שווה על ציר ה-y.
14. y = x — אנך אמצעי לקטע (2,0)–(0,2): M=(1,1), שיפוע קטע=−1, שיפוע אנך=1. y−1=1(x−1) ⇒ y=x.
15. y = 3x + 4 — m = (10−4)/(2−0) = 3. n = 4 (חיתוך עם y). y = 3x + 4.