טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. מקבילית בלבד — AB ∥ DC (שניהם אופקיים, אורך 5), AD ∥ BC (שיפוע 4). |AB|=5, |AD|=√17 ⇒ לא מעוין. שיפוע AB=0, BC=4 ⇒ לא ניצבים ⇒ לא מלבן.
2. 8 ס"מ — במשולש ABD: AB=AD=8, זווית A=60° ⇒ משולש שווה צלעות. BD=8.
3. −2 — m = (−3 − 3)/(2 − (−1)) = −6/3 = −2.
4. x = 3 — M = (3, 0). הקטע אופקי → אנך אמצעי אנכי: x = 3.
5. נכון תמיד (משפט הקודקודים המנוגדים) — שים את המלבן בקואורדינטות A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b), P(x,y). PA²+PC² = x²+y² + (x-a)²+(y-b)². PB²+PD² = (x-a)²+y² + x²+(y-b)². שני הביטויים זהים אחרי פתיחה.
6. (3, 1) — חיבור: 3x = 9 ⇒ x = 3 ⇒ y = 1.
7. 25 — |AB| = √(9 + 16) = 5. שטח ריבוע = 5² = 25.
8. 25/2 — ½|0(4−1)+3(1−0)+7(0−4)| = ½|0+3−28| = ½×25 = 25/2.
9. y = (3/2)x − 5 — שיפוע הישר −2/3. ניצב: 3/2. y − 1 = (3/2)(x − 4) ⇒ y = (3/2)x − 5.
10. 32 סמ² — שטח טרפז = ((a+b)/2)·h = ((6+10)/2)·4 = 8·4 = 32 סמ². מסיח 64 — שכחת חלוקה ב-2.
11. ניצבים — השני: 8y = −2x + 5 ⇒ y = −(1/4)x + 5/8. 4·(−1/4) = −1.
12. 4 ס"מ — h = BC·sin A = 8·sin30° = 8·0.5 = 4 ס"מ.
13. 76 — שטח ריבוע 100. שטח משולש (6·8)/2=24. נשאר 100−24=76.
14. (3, 5) — אנך אמצעי הוא הישר x = 3 (אנכי, עובר באמצע (3,0)). (3, 5) עליו.
15. 8√3 — האלכסונים במעוין חוצים בניצב. במשולש AOB ישר זווית ב-O עם זווית A = 30° (חצי 60°), AO = 8·cos 30° = 4√3, ולכן AC = 8√3.
16. (4, 3) — אלכסונים נחתכים באמצע. אמצע AC = (4, 3).
17. 50 סמ² — הדלתון הוא חצי משטח הריבוע (שני אלכסונים מאונכים, אחד = 10√2 דרך מרכז). שטח דלתון = 50 סמ².
18. 5 — d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
19. 4 — ישר אנכי x = 1. מרחק = |5 − 1| = 4.
20. y = −(1/2)x + 5 — M = (2, 4). m_AB = 2. m_perp = −1/2. y − 4 = −(1/2)(x − 2) ⇒ y = −(1/2)x + 5.