15 שאלות sin/cos/tan, זוויות 30°/45°/60°, זהויות יסוד וצורות משולבות.

📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י׳ · יסודות בגרות · 15 שאלות · ~35 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה במשולש ישר זווית — אבן יסוד של גאומטריה בבגרות 4 יח"ל. הדף כולל הגדרות sin/cos/tan לפי יחסי צלעות, ערכים מדויקים בזוויות 30°/45°/60° (√3/2, √2/2 — לא קירוב עשרוני), זהות sin²+cos²=1, פיתגורס בצורות מורכבות, ודמיון משולשים. 15 שאלות מודרגות לתרגול לפני מבחן.

1.במקבילית ABCD, חוצי הזוויות A ו-B נחתכים בנקודה P. כמה היא זווית APB?
(א)90°✓
(ב)60°
(ג)תלוי במקבילית
(ד)120°
2.בטרפז ש"ש ABCD, AB=16, CD=6, שוק=13. מהו שטח הטרפז?
טרפז שווה שוקיים ABCD
(א)143 סמ²
(ב)121 סמ²
(ג)165 סמ²
(ד)132 סמ²✓
3.נתון מרובע A(1, 2), B(4, 6), C(8, 3), D(5, −1). מהו אורך הצלע AB?
(א)√7
(ב)√50
(ג)5✓
(ד)4
4.במשולש ישר זווית היתר 13 וניצב אחד 5. מהו הניצב השני?
סרטוט סכמטי — לא לפי קנה מידה
(א)8
(ב)12✓
(ג)18
(ד)√194
5.במשולש A(1, 2), B(5, 2), C(3, 8) מהו השטח?
(א)12✓
(ב)6
(ג)10
(ד)24
6.במקבילית ABCD: A(2, 3), B(−1, 4), C(0, 7). מצא את D.
(א)D(1, 6)
(ב)D(3, 6)✓
(ג)D(3, 0)
(ד)D(−3, 8)
7.ריבוע ABCD צלע 12. M ו-N אמצעי AB ו-BC. מהו שטח המשולש DMN?
(א)36 סמ²
(ב)72 סמ²
(ג)48 סמ²
(ד)54 סמ²✓
8.במלבן ABCD האלכסון AC יוצר זווית של 30° עם הצלע AB. אם AB = 6 ס"מ, מהו אורך BC?
(א)6√3 ס"מ
(ב)2√3 ס"מ✓
(ג)12 ס"מ
(ד)3 ס"מ
9.טרפז ABCD (AB∥CD) שבסיסיו AB=8 ו-CD=4 וגובהו 6. האלכסונים נחתכים בנקודה O. מהו שטח המשולש COD (שמעל O, על הבסיס הקטן)?
(א)8
(ב)6
(ג)4✓
(ד)12
10.במעוין צלע 13 ס"מ ואלכסון אחד 10 ס"מ. מהו שטחו?
(א)60 סמ²
(ב)240 סמ²
(ג)120 סמ²✓
(ד)65 סמ²
11.במקבילית ABCD: A(−2, 1), B(3, 2), C(5, 6). מצא את D.
(א)D(0, 7)
(ב)D(−4, 5)
(ג)D(10, 5)
(ד)D(0, 5)✓
12.בטרפז ישר זווית ABCD (זוויות A,B ישרות), AB = 8, AD = 5, BC = 11. מהו אלכסון AC?
(א)15
(ב)√64
(ג)13
(ד)√185✓
13.במלבן ABCD, P נקודה כלשהי בפנים. הוכח: PA²+PC²=PB²+PD².
(א)אינו נכון בכלל
(ב)נכון תמיד (משפט הקודקודים המנוגדים)✓
(ג)רק כש-P במרכז
(ד)רק כשהמלבן הוא ריבוע
14.מהי נקודת החיתוך של y = 2x − 1 ו-y = −x + 5?
y = 2x − 1
(א)(3, 2)
(ב)(1, 1)
(ג)(2, 3)✓
(ד)(2, 5)
15.באלו נקודות חותך y = 3x − 6 את הצירים?
y = 3x − 6
(א)(2, 0) ו-(0, −6)✓
(ב)(0, 2) ו-(−6, 0)
(ג)(−2, 0) ו-(0, 6)
(ד)(2, 0) ו-(0, 6)

מפתח תשובות

90° — במקבילית זוויות A+B=180°. במשולש APB: זווית PAB = A/2, זווית PBA = B/2. סכומן = (A+B)/2 = 90°. לכן זווית APB = 180°−90° = 90°.
132 סמ² — חצי הבדל בסיסים = 5. גובה = √(169−25)=12. שטח = ((16+6)/2)·12 = 11·12 = 132.
5 — |AB| = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 (משולש פיתגורי 3-4-5).
12 — b² = c² − a² = 169 − 25 = 144, ולכן b = 12. זה משולש 5-12-13.
12 — בסיס AB = 4 (אופקי), גובה = |8 − 2| = 6. שטח = ½·4·6 = 12.
D(3, 6) — D = A + C − B = (2+0−(−1), 3+7−4) = (3, 6).
54 סמ² — שטח ריבוע=144. שטחי שלושת המשולשים: ADM=(12·6)/2=36, MBN=(6·6)/2=18, NCD=(12·6)/2=36. סכום=90. שטח DMN=144−90=54.
2√3 ס"מ — tan 30° = BC/AB ⟸ BC = 6·tan 30° = 6·(√3/3) = 2√3 ס"מ.
4 — המשולשים AOB ו-COD דומים ביחס AB:CD = 8:4 = 2:1. הגובה הכולל של הטרפז 6 מתחלק בין שני הגבהים ביחס 2:1. גובה משולש COD = 6·1/(2+1) = 2. שטח COD = (CD·גובה)/2 = (4·2)/2 = 4.
120 סמ² — (d₂/2)² = 13² − 5² = 144 ⟸ d₂ = 24. שטח = (10·24)/2 = 120 סמ².
D(0, 5) — D = A + C − B = (−2+5−3, 1+6−2) = (0, 5).
√185 — במשולש ABC ישר זווית ב-B: AC² = AB² + BC² = 64 + 121 = 185.
נכון תמיד (משפט הקודקודים המנוגדים) — שים את המלבן בקואורדינטות A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b), P(x,y). PA²+PC² = x²+y² + (x-a)²+(y-b)². PB²+PD² = (x-a)²+y² + x²+(y-b)². שני הביטויים זהים אחרי פתיחה.
(2, 3) — 2x − 1 = −x + 5 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2, y = 3.
(2, 0) ו-(0, −6) — ציר x: y=0 ⇒ x=2. ציר y: x=0 ⇒ y=−6.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מקדש הצורות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-35 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~35 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 גיאומטריה — צורות, שטח והיקף לכיתה ג' · 15 שאלות · ~20 דק'
📦 שטח ונפח — תרגול מסכם לכיתות ה'-ו' · 15 שאלות · ~25 דק'
📐 שטח והיקף — יסודות לכיתה ד' · 15 שאלות · ~20 דק'
📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 15 שאלות · ~30 דק'

לאן הולכים?