15 שאלות sin/cos/tan, זוויות 30°/45°/60°, זהויות יסוד וצורות משולבות.

📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י׳ · יסודות בגרות · 15 שאלות · ~35 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה במשולש ישר זווית — אבן יסוד של גאומטריה בבגרות 4 יח"ל. הדף כולל הגדרות sin/cos/tan לפי יחסי צלעות, ערכים מדויקים בזוויות 30°/45°/60° (√3/2, √2/2 — לא קירוב עשרוני), זהות sin²+cos²=1, פיתגורס בצורות מורכבות, ודמיון משולשים. 15 שאלות מודרגות לתרגול לפני מבחן.

1.במשולש שווה שוקיים זווית הראש 60°. מה ניתן לומר על המשולש?
סרטוט סכמטי — לא לפי קנה מידה
(א)שווה צלעות✓
(ב)ישר זווית
(ג)אין מספיק מידע
(ד)כל הזוויות 60° וצלעות שונות
2.במלבן ABCD, AB=12, BC=5. האלכסון AC ואלכסון BD נחתכים ב-O. מה היחס בין שטח משולש AOB לשטח המלבן?
(א)1/4✓
(ב)1/6
(ג)1/3
(ד)1/2
3.במלבן ABCD, AB=15, BC=8. נחתך משולש ישר זווית מפינה B עם ניצב 5 על AB וניצב 6 על BC. מהו היקף המשושה החדש?
מלבן ABCD, נחתכת פינת B (ניצבים 5 ו-6) — הצלע החדשה מקווקוות
(א)46+√61 ס"מ
(ב)41+√61 ס"מ
(ג)33+√61 ס"מ
(ד)35+√61 ס"מ✓
4.בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. איזו טענה נוספת תמיד נכונה?
טרפז שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות
(א)האלכסונים ניצבים
(ב)האלכסונים שווים✓
(ג)השוקיים מקבילות
(ד)כל הצלעות שוות
5.במלבן ABCD, AB=14, BC=6. נקודה P על AB כך ש-AP=5. מהו שטח המשולש DPC?
(א)84 סמ²
(ב)42 סמ²✓
(ג)21 סמ²
(ד)30 סמ²
6.במשולש A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8) מהו אורך התיכון מ-C ל-AB?
(א)10
(ב)8
(ג)5
(ד)√73✓
7.האם הישרים y = (2/3)x + 1 ו-y = −(3/2)x + 4 הם:
y = (2/3)x + 1
(א)ניצבים✓
(ב)אין קשר
(ג)זהים
(ד)מקבילים
8.מהו המרחק בין הנקודות A(2, 5) ו-B(2, −3)?
(א)−8
(ב)8✓
(ג)4
(ד)√8
9.במשולש ישר זווית הניצבים 6 ו-8. מהו אורך היתר?
(א)48
(ב)√14
(ג)10✓
(ד)14
10.במשולש A(1, 2), B(5, 2), C(3, 8) מהו השטח?
(א)12✓
(ב)6
(ג)10
(ד)24
11.הישר y = mx − 3m + 1 עובר תמיד בנקודה. מהי?
(א)(3, −1)
(ב)(3, 1)✓
(ג)(1, 3)
(ד)(−3, 1)
12.צורה: שני מלבנים שמתחברים בצורת T. מלבן עליון 8×3 ומלבן תחתון 4×6 (מתחת למרכז). מהו השטח הכולל?
(א)48 סמ²✓
(ב)52 סמ²
(ג)44 סמ²
(ד)40 סמ²
13.במקבילית ABCD, M נקודת חיתוך האלכסונים. שטח המשולש ABM הוא 8 סמ². מהו שטח המקבילית?
(א)64 סמ²
(ב)24 סמ²
(ג)16 סמ²
(ד)32 סמ²✓
14.במשולש ABC, AD תיכון ל-BC. מ-B ומ-C העבירו אנכים BE ו-CF ל-AD (או להמשכו). הוכח: BE=CF.
D אמצע BC; ‏BE ו-CF מאונכים ל-AD
(א)BE>CF תלוי בזווית
(ב)BE<CF
(ג)לא תמיד שווים
(ד)BE=CF לפי חפיפת BED ו-CFD✓
15.נתונים A(0, 0), B(5, 0), C(6, 4), D(1, 4). איזה מרובע זה?
(א)מקבילית בלבד✓
(ב)מעוין
(ג)ריבוע
(ד)מלבן

מפתח תשובות

שווה צלעות — אם זווית הראש 60° וזוויות הבסיס שוות, סכומן 120° → כל אחת 60°. כל הזוויות שוות → שווה צלעות.
1/4 — האלכסונים במלבן חוצים זה את זה, כך ש-AO=OC ו-BO=OD. משולשים AOB ו-COD חופפים (צ.ז.צ: AO=OC, BO=OD וזוויות קודקודיות שוות), ולכן שווי שטח; באותו אופן BOC ו-AOD חופפים ושווי שטח. בנוסף, AOB ו-BOC חולקים גובה זהה מקודקוד B אל האלכסון AC ובסיסים שווים AO=OC, ולכן גם הם שווי שטח. לכן 4 המשולשים שווים בשטחם, וכל אחד שווה ל-¼ משטח המלבן, כלומר 15/60=1/4.
35+√61 ס"מ — החיתוך מסיר את פינה B ומחליף את שני הקטעים שאורכם 5 ו-6 ביתר המשולש. היתר = √(5²+6²) = √61. צלעות המשושה: (AB−5)=10, יתר=√61, (BC−6)=2, CD=15, DA=8. היקף = 10+√61+2+15+8 = 35+√61 ס"מ.
האלכסונים שווים — בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. הם לא בהכרח ניצבים. השוקיים אינן מקבילות (אחרת זו מקבילית).
42 סמ² — בסיס DC=14, גובה מ-P ל-DC = BC = 6. שטח = (14·6)/2 = 42 סמ².
√73 — אמצע AB = (3, 0). |CM| = √(9 + 64) = √73.
ניצבים — (2/3) · (−3/2) = −1, לכן ניצבים.
8 — הקטע אנכי (אותו x). המרחק = |5 − (−3)| = 8.
10 — c² = 36 + 64 = 100, ולכן c = 10. זה משולש 6-8-10 (כפולה של 3-4-5).
12 — בסיס AB = 4 (אופקי), גובה = |8 − 2| = 6. שטח = ½·4·6 = 12.
(3, 1) — y = m(x−3) + 1. ל-x=3: y=1 לכל m.
48 סמ² — 24+24=48 סמ². אין חפיפה ביניהם.
32 סמ² — האלכסונים מחלקים את המקבילית ל-4 משולשים שווי שטח. שטח = 4·8 = 32 סמ².
BE=CF לפי חפיפת BED ו-CFD — BD=DC (D אמצע BC). זוויות BED=CFD=90°. זוויות BDE=CDF (קודקודיות). לפי זווית-זווית-צלע, המשולשים BED ו-CFD חופפים. לכן BE=CF.
מקבילית בלבד — AB ∥ DC (שניהם אופקיים, אורך 5), AD ∥ BC (שיפוע 4). |AB|=5, |AD|=√17 ⇒ לא מעוין. שיפוע AB=0, BC=4 ⇒ לא ניצבים ⇒ לא מלבן.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מקדש הצורות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-35 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~35 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 גיאומטריה — צורות, שטח והיקף לכיתה ג' · 15 שאלות · ~20 דק'
📦 שטח ונפח — תרגול מסכם לכיתות ה'-ו' · 15 שאלות · ~25 דק'
📐 שטח והיקף — יסודות לכיתה ד' · 15 שאלות · ~20 דק'
📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 15 שאלות · ~30 דק'

לאן הולכים?