15 שאלות sin/cos/tan, זוויות 30°/45°/60°, זהויות יסוד וצורות משולבות.

📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י׳ · יסודות בגרות · 15 שאלות · ~35 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה במשולש ישר זווית — אבן יסוד של גאומטריה בבגרות 4 יח"ל. הדף כולל הגדרות sin/cos/tan לפי יחסי צלעות, ערכים מדויקים בזוויות 30°/45°/60° (√3/2, √2/2 — לא קירוב עשרוני), זהות sin²+cos²=1, פיתגורס בצורות מורכבות, ודמיון משולשים. 15 שאלות מודרגות לתרגול לפני מבחן.

1.במשולש ABC, BD ו-CE תיכונים הנפגשים ב-G. הוכח: BG=2·GD.
BD, CE תיכונים הנפגשים ב-G
(א)משפט נקודת המפגש של התיכונים✓
(ב)תלוי בסוג המשולש
(ג)BG=GD תמיד
(ד)BG=3·GD
2.במקבילית ABCD: A(1, −1), B(4, 2), C(7, 1). מצא את D.
(א)D(4, −2)✓
(ב)D(10, −2)
(ג)D(−2, 0)
(ד)D(4, 0)
3.ישר העובר ב-A(0, 3) ניצב ל-y = 2x − 1. מצא חיתוכו עם ציר ה-x.
(א)(6, 0)✓
(ב)(−6, 0)
(ג)(3, 0)
(ד)(0, 6)
4.במעוין ABCD זווית A = 60° וצלע 8 ס"מ. מהו אורך האלכסון BD (הקצר)?
(א)16 ס"מ
(ב)4 ס"מ
(ג)8√3 ס"מ
(ד)8 ס"מ✓
5.במעוין שצלעו 5 ואלכסון אחד 6, מהו האלכסון השני?
(א)8 ס"מ✓
(ב)4 ס"מ
(ג)10 ס"מ
(ד)√34 ס"מ
6.במלבן ABCD, AB=10, BC=6. נבנה משולש ישר זווית BCE מחוץ למלבן, כך ש-BE=10 ו-זווית BCE=90°. מהו אורך CE?
מלבן ABCD ומשולש ישר-זווית BCE מחוץ למלבן, זווית C ישרה
(א)6 ס"מ
(ב)4 ס"מ
(ג)16 ס"מ
(ד)8 ס"מ✓
7.מהו שטח דלתון שאלכסוניו 7 ס"מ ו-10 ס"מ?
(א)35 סמ²✓
(ב)70 סמ²
(ג)34 סמ²
(ד)17 סמ²
8.נקודה P(x, y) במרחק שווה מ-(2, 0) ומ-(0, 2). מהי המשוואה?
(א)y = 2
(ב)y = x + 2
(ג)y = −x
(ד)y = x✓
9.נתון מרובע ABCD: A(0, 0), B(5, 0), C(8, 4), D(3, 4). איזה סוג מרובע הוא?
(א)מלבן
(ב)מקבילית בלבד
(ג)טרפז בלבד
(ד)מעוין✓
10.מעוין ABCD שצלעו 6 וזווית A=60°. מהו שטחו?
(א)36 סמ²
(ב)36√3 סמ²
(ג)18√3 סמ²✓
(ד)9√3 סמ²
11.במקבילית ABCD, האלכסונים נחתכים בנקודה O. מ-A הורד אנך AE ל-BD ומ-C הורד אנך CF ל-BD. הוכח/מצא: AE=CF.
(א)AE=CF תמיד✓
(ב)תלוי בזווית
(ג)AE=2CF
(ד)CF=2AE
12.ריבוע בעל צלע 6. מהו אורך אלכסונו?
(א)12
(ב)6√3
(ג)6√2✓
(ד)3√2
13.במקבילית שתי צלעות סמוכות 6 ו-10 והזווית ביניהן 30°. מהו שטחה?
(א)15 סמ²
(ב)60 סמ²
(ג)30√3 סמ²
(ד)30 סמ²✓
14.בריבוע ABCD שצלעו 8 ס"מ, M אמצע BC, N אמצע CD. מהו שטח הדלתון AMCN?
(א)32 סמ²✓
(ב)24 סמ²
(ג)16 סמ²
(ד)20 סמ²
15.מלבן 12×8 שממנו נחתך משולש שווה צלעות בעל צלע 4 (פינה). מהו שטח החלק שנותר?
(א)80 סמ²
(ב)96−4√3 סמ²✓
(ג)92 סמ²
(ד)96 סמ²

מפתח תשובות

משפט נקודת המפגש של התיכונים — נקודת המפגש של התיכונים (המרכז) מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 כאשר החלק הגדול מהקודקוד. ההוכחה: דרך נקודות אמצע משולש קטן דומה ביחס 1:2, ומכאן יחס החלקים על התיכון.
D(4, −2) — D = A + C − B = (1+7−4, −1+1−2) = (4, −2).
(6, 0) — שיפוע ניצב: −1/2. ישר: y = −x/2 + 3. y=0 ⇒ x = 6.
8 ס"מ — במשולש ABD: AB = AD = 8 וזווית A = 60° — שווה צלעות. לכן BD = 8 ס"מ.
8 ס"מ — חצי האלכסון השני = √(25−9) = 4. אלכסון שני = 8 ס"מ.
8 ס"מ — במשולש BCE: BC=6, BE=10 יתר. CE = √(100−36) = √64 = 8.
35 סמ² — שטח דלתון = (d₁·d₂)/2 = (7·10)/2 = 35 סמ². מסיח 70 — שכחת חלוקה ב-2.
y = x — אנך אמצעי לקטע (2,0)–(0,2): M=(1,1), שיפוע קטע=−1, שיפוע אנך=1. y−1=1(x−1) ⇒ y=x.
מעוין — |AB|=5, |BC|=√(9+16)=5, |CD|=5, |DA|=√(9+16)=5. כל הצלעות שוות ⇒ מעוין. שיפוע AB = 0 ושיפוע BC = 4/3, מכפלתם ≠ −1 ⇒ הזוויות אינן ישרות, ולכן אינו ריבוע.
18√3 סמ² — שטח מעוין = a²·sin θ = 36·sin60° = 36·(√3/2) = 18√3 סמ².
AE=CF תמיד — המשולשים AOE ו-COF: AO=OC (האלכסונים חוצים זה את זה), זוויות E ו-F ישרות, וזוויות AOE=COF (קודקודיות). לפי משפט חפיפה (זווית-זווית-צלע) AE=CF.
6√2 — האלכסון יוצר משולש 45-45-90 עם ניצבים 6. אלכסון = 6√2.
30 סמ² — שטח מקבילית = a·b·sin θ = 6·10·sin 30° = 60·(1/2) = 30 סמ². מסיח 60 — שכחת sin.
32 סמ² — שטח הריבוע = 8·8 = 64. הדלתון AMCN מוגדר על-ידי A=(0,0), M=(8,4), C=(8,8), N=(4,8). הצלעות MC ו-CN חופפות לצלעות הריבוע, לכן האזור שמחוץ לדלתון בתוך הריבוע הוא שני משולשים בלבד: משולש ABM עם בסיס AB=8 וגובה AM_y=4, שטח=16; ומשולש ADN עם בסיס AD=8 וגובה AN_x=4, שטח=16. שטח הדלתון AMCN = 64 − 16 − 16 = 32 סמ². אימות בנוסחת שרוכות: ½|0·4−8·0 + 8·8−8·4 + 8·8−4·8 + 4·0−0·8| = ½·64 = 32.
96−4√3 סמ² — שטח מלבן=96. שטח משולש שווה צלעות צלע 4 = (16√3)/4 = 4√3. נשאר 96−4√3.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: מקדש הצורות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-35 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~35 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 גיאומטריה — צורות, שטח והיקף לכיתה ג' · 15 שאלות · ~20 דק'
📦 שטח ונפח — תרגול מסכם לכיתות ה'-ו' · 15 שאלות · ~25 דק'
📐 שטח והיקף — יסודות לכיתה ד' · 15 שאלות · ~20 דק'
📐 טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט' · 15 שאלות · ~30 דק'

לאן הולכים?