📐 משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות

1. (1, 2) ו־(4, 5) — משווים בין הביטויים: x²−4x+5=x+1, ולכן x²−5x+4=0. מפרקים: (x−1)(x−4)=0, ומקבלים x=1 או x=4. בהצבה ב־y=x+1 מתקבלות נקודות החיתוך (1, 2) ו־(4, 5).
2. x < −1 או x > 1 — עבור x ≥ 1: x − 1 < x² → x² − x + 1 > 0 (תמיד). עבור x < 1: 1 − x < x² → x² + x − 1 > 0 → x < (−1 − √5)/2 (כלומר x < −1 בקירוב). לכן x < −1 או x ≥ 1.
3. −3 ≤ x ≤ 1 — שורשים: x = 1, x = −3. פרבולה עם a > 0 שלילית ובין השורשים: −3 ≤ x ≤ 1.
4. (4x − 5y)(4x + 5y) — 16x² − 25y² = (4x)² − (5y)². הפרש ריבועים: (4x − 5y)(4x + 5y).
5. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
6. 1 — Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
7. 6 או −6 — לפתרון אחד: דיסקרימיננט = 0. b² − 4·1·9 = 0 → b² = 36 → b = ±6.
8. 4 או −4 — (x+y)² = x²+2xy+y² = 10+6 = 16. לכן x+y = ±4.
9. x = 5 או x = −2 — x² − 3x − 10 = 0. (x − 5)(x + 2) = 0. x = 5 או x = −2.
10. (0, 1) ו־(2, 5) — x² + 1 = 2x + 1, x² − 2x = 0, x(x−2) = 0. נקודות: (0,1) ו(2,5).
11. x = 6 — 45x + 300 = 570 → 45x = 270 → x = 6.
12. x > −1/2 — x²+4x+4 > x²−2x+1 → 6x > −3 → x > −1/2.
13. x ≤ −3 או x ≥ 1 (x ≠ −3) — הביטוי ≥ 0 כאשר מונה ומכנה בעלי אותו סימן, או כאשר מונה = 0. x ≤ −3 (x ≠ −3) או x ≥ 1.
14. x = ±3 — 2x² = 18 → x² = 9 → x = ±3.
15. x = ±2 או x = ±3 — נציב t = x²: t² − 13t + 36 = 0. (t − 4)(t − 9) = 0. t = 4 → x = ±2, t = 9 → x = ±3.