📐 משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות

1. (x − 3)(x + 3) — x² − 9 = x² − 3². זוהי הפרש ריבועים: a² − b² = (a − b)(a + b). כאן a = x, b = 3. לכן x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. x = 1 או x = −5 — חלקו ב-2: x² + 4x − 5 = 0. (x + 2)² = 9. x = −2 ± 3: x = 1 או x = −5.
3. x = 2 או x = 0.5 — Δ = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3)/4. x₁ = 8/4 = 2, x₂ = 2/4 = 0.5.
4. 10 ס״מ ו־8 ס״מ — אורך + רוחב = 18. x(18 − x) = 80 → x² − 18x + 80 = 0 → (x − 10)(x − 8) = 0.
5. x = 4 או x = −2 — אם מכפלה = 0 אז אחד הגורמים שווה 0. x − 4 = 0 → x = 4, או x + 2 = 0 → x = −2.
6. x > 3 או x < −3 — x² − 9 > 0 אומר (x−3)(x+3) > 0, ולכן x > 3 או x < −3.
7. m = 0 — mx+2=x²+1, x²−mx−1=0. לְמַשֵּק: דיסקרימיננט=0, m²+4=0 — אין פתרון ממשי. נסו: x²+1=mx+2, x²−mx−1=0, Δ=m²+4>0 תמיד — אין משיק ממשי. עבור m=0: x²+1=2, x²=1 — שתי נקודות, לא משיק.
8. x = 2 או x = 3 — x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3) = 0, ולכן x = 2 או x = 3.
9. x = 3 או x = −3 — x² = 9 → x = ±3.
10. x = 5 או x = −2 — x² − 3x − 10 = 0. (x − 5)(x + 2) = 0. x = 5 או x = −2.
11. x = 3 או x = 4 — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם 7: הם 3 ו־4. (x − 3)(x − 4) = 0. x = 3 או x = 4.
12. 12 — נסמן רוחב = x, אורך = x+4. x(x+4) = 96 → x²+4x−96 = 0 → (x+12)(x−8) = 0 → x = 8. אורך = 12.
13. (x − 2)(x + 2)(x² + 4) — x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4). כעת x² − 4 = (x − 2)(x + 2). לכן x⁴ − 16 = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
14. 2 < x < 3 — (x−2)(x−3) < 0 — הכפל שלילי בין השורשים: 2 < x < 3.
15. x = 3 ו x = −3 — x² + 2x + 1 = 2x + 10 → x² = 9 → x = ±3.