משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. שניים: 3 ו-−3 — x² = 9 → x = ±3. שני פתרונות.
2. m = 0 — mx+2=x²+1, x²−mx−1=0. לְמַשֵּק: דיסקרימיננט=0, m²+4=0 — אין פתרון ממשי. נסו: x²+1=mx+2, x²−mx−1=0, Δ=m²+4>0 תמיד — אין משיק ממשי. עבור m=0: x²+1=2, x²=1 — שתי נקודות, לא משיק.
3. x = 2 או x = 5 — (x − 2)(x − 5) = 0 → x = 2 או x = 5.
4. Δ = −8; אין פתרונות ממשיים — Δ = 2² − 4 · 3 · 1 = 4 − 12 = −8 < 0. אין פתרונות ממשיים.
5. x = 5 או x = −5 — x² = 25 פירושו x = √25 או x = −√25, כלומר x = 5 או x = −5.
6. x = 2 או x = −2 — 2x² = 8, x² = 4, x = ±2.
7. אין נקודות חיתוך (אין פתרונות ממשיים) — x²−4x+5=x+1, x²−5x+4=0 — המסקנה? דיסקרימיננט: 25−16=9>0 — יש שתי נקודות: x=(5±3)/2, x=4 או x=1. (1,2) ו(4,5).
8. (−1, 1) ו־(2, 4) — x² = x + 2, x² − x − 2 = 0, (x−2)(x+1) = 0, x = 2 או x = −1. נקודות: (2,4) ו(−1,1).
9. x = 2 או x = 0.5 — Δ = 25 − 16 = 9. x = (5 ± 3)/4. x₁ = 8/4 = 2, x₂ = 2/4 = 0.5.
10. 10 ס״מ ו־8 ס״מ — אורך + רוחב = 18. x(18 − x) = 80 → x² − 18x + 80 = 0 → (x − 10)(x − 8) = 0.
11. x = 1 ו x = 3 — x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3) = 0 → x = 1 או x = 3.
12. x = 6 או x = −6 — x² − 36 = (x − 6)(x + 6) = 0. לכן x = 6 או x = −6.
13. 7 — לפי נוסחת וייטה, סכום השורשים = −b/a = 7/1 = 7.
14. x = 0 או x = 7 — מוציאים גורם: x(x − 7) = 0. לכן x = 0 או x = 7.
15. t = 4 שניות — h = 0: 20t − 5t² = 0 → 5t(4−t) = 0 → t = 0 (שיגור) או t = 4.
16. −2 < x < 2 — (x−2)(x+2) < 0 — הכפל שלילי כאשר −2 < x < 2.
17. x = 2 ו x = −5 — מכפלה = 0 כאשר אחד הגורמים = 0: x − 2 = 0 → x = 2; x + 5 = 0 → x = −5.
18. x = ±5 — x² = 25, לכן x = ±5.
19. x = 5 ו x = 2 — x = (7 ± √(49−40))/2 = (7 ± 3)/2. לכן x = 5 או x = 2.
20. 2 מ' — יהי רוחב x. אז אורך = x + 4. x(x+4) = 12 ⟹ x² + 4x − 12 = 0 ⟹ (x+6)(x−2) = 0. x = 2 (חיובי).