משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות ופתרונות

1. x = 1 או x = −5 — x² + 4x = 5 → (x + 2)² − 4 = 5 → (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
2. 0 — Δ = b² − 4ac = 36 − 36 = 0. פתרון יחיד.
3. x = 3 או x = −3 — x² = 9, ולכן x = ±3.
4. x = 1/2 או x = −3 — Δ = 25 + 24 = 49. x = (−5 ± 7)/4. x₁ = 2/4 = 1/2, x₂ = −12/4 = −3.
5. 10 ס״מ ו־8 ס״מ — אורך + רוחב = 18. x(18 − x) = 80 → x² − 18x + 80 = 0 → (x − 10)(x − 8) = 0.
6. 5 — (x + 3)² − x² = 39 → 6x + 9 = 39 → 6x = 30 → x = 5.
7. 15 מ׳ × 30 מ׳ — יהי רוחב x. אורך = 60−2x. שטח: x(60−2x) = 60x−2x². מקסימום ב-x = 15. אורך = 30. שטח = 450 מ².
8. −2 < x < 2 — (x − 2)(x + 2) < 0. הביטוי שלילי בין השורשים: −2 < x < 2.
9. 20 מ׳ — 10 · l ≥ 200 → l ≥ 20 מ׳.
10. אין פתרונות ממשיים — Δ = 4 − 20 = −16 < 0. אין פתרונות ממשיים.
11. k < 4, k ≠ 0 — לשני פתרונות שונים דרוש Δ > 0: (−4)²−4k·1>0. 16−4k>0. k<4. גם k≠0 (אחרת לא ריבועית).
12. 4 או −4 — (x+y)² = x²+2xy+y² = 10+6 = 16. לכן x+y = ±4.
13. כן, x = 4 — (x − 4)(x + 2) = 0. x = 4 נמצא בקצה התחום [3, 4].
14. x = 7 או x = −7 — x² = 49 → x = √49 = 7 או x = −√49 = −7.
15. x = 7 או x = −7 — x² = 49 ⟹ x = ±√49 = ±7.
16. x = (5 ± √13)/2 — Δ = 25 − 12 = 13. x = (5 ± √13)/2.
17. x = 2 או x = 3 — Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1)/2. x₁ = 3, x₂ = 2.
18. x=5,y=2 ו-x=−2,y=−5 — x=y+3. (y+3)²+y²=29 → 2y²+6y−20=0 → y²+3y−10=0 → (y−2)(y+5)=0.
19. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) — נוסחת השורשים הידועה: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
20. 6 — x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) = 0. הפתרונות: x = 1 ו-x = 5. סכום: 1 + 5 = 6.