📐 משוואה ריבועית — תרגול לכיתה ט' / י'

מפתח תשובות

1. x = 3 ו x = −3 — x² + 2x + 1 = 2x + 10 → x² = 9 → x = ±3.
2. נקודה אחת (משיקים) — x²=2x−1, x²−2x+1=0, (x−1)²=0, x=1 בלבד — הישר משיק לפרבולה.
3. 2 מ' — יהי רוחב x מ'. אז אורך = x + 4 מ'. שטח: x(x+4) = 12 ⟹ x² + 4x − 12 = 0. מחפשים שני מספרים שסכומם 4 ומכפלתם −12: המספרים הם 6 ו־−2 (כי 6·(−2)=−12 וגם 6+(−2)=4). לכן x² + 4x − 12 = (x+6)(x−2) = 0, ומכאן x=−6 או x=2. מכיוון שרוחב חייב להיות חיובי, x = 2 מ'.
4. x = ±4 — x² = 16 נותן x = 4 או x = −4, כלומר x = ±4.
5. (−2, 0) ו-(3, 5) — x²−4=x+2 → x²−x−6=0 → (x−3)(x+2)=0. x=3: y=5. x=−2: y=0.
6. (2, 1) — x קודקוד = −4/(2·(−1)) = 2. y = −4 + 8 − 3 = 1. קודקוד (2, 1).
7. ±7 — x² = 49 נותן x = 7 או x = −7.
8. (4x − 5y)(4x + 5y) — 16x² − 25y² = (4x)² − (5y)². הפרש ריבועים: (4x − 5y)(4x + 5y).
9. −1 < k < 2 — Δ = 4k²−4(k+2) < 0 → k²−k−2 < 0 → (k−2)(k+1) < 0 → −1 < k < 2.
10. −2 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 2 — נסמן t=x². (t−1)(t−4)≤0 → 1≤t≤4. לכן 1≤x²≤4 → 1≤|x|≤2 → x∈[−2,−1]∪[1,2].
11. שניהם חיוביים — מכפלת השורשים = c/a = 10 > 0, וסכום השורשים = −b/a = 7 > 0. לכן שניהם חיוביים.
12. x = 3 ו-x = 4 — x² − 7x + 12 = (x−3)(x−4) = 0 ⟹ x = 3 או x = 4.
13. x = 2 או x = −5 — כאשר מכפלה = 0, אחד הגורמים מתאפס. x − 2 = 0 → x = 2, או x + 5 = 0 → x = −5.
14. x = (−b ± √(b² − 4c)) / 2 — עבור ax² + bx + c = 0 עם a = 1: x = (−b ± √(b² − 4c)) / 2.
15. 10 ס״מ ו־8 ס״מ — אורך + רוחב = 18. x(18 − x) = 80 → x² − 18x + 80 = 0 → (x − 10)(x − 8) = 0.